版块 5 导数的应用

A.实用解题工具

第 1 组: 曲率及曲率圆中包含的信息

1. 曲率计算公式: 曲率

$$\begin{array}{rl}y=f(x)\text{ 时},k& =\frac{|y^{\prime \prime }|}{{\left(1+(y^{\prime }{)}^2\right)}^{3/2}}.\end{array}$$

当

$$x=\phi (t),y=\psi (t),$$

曲率为

$$k=\frac{|{\phi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\phi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{{\left(({\phi }^{\prime }(t){)}^2+({\psi }^{\prime }(t){)}^2\right)}^{3/2}}.$$

2. 曲率与曲率半径互为倒数。即曲率半径:$\rho =\frac{1}{k}$

3. 曲线在某一点的曲率圆, 包含以下信息。

(1)相切。曲线在该点的切线与过该点的半径垂直。

(2)曲率。曲线在该点的曲率为曲率圆半径的倒数。$k=\frac{1}{R_{\text{曲率圆}}}$

(3)二阶导符号。曲线在该点的开口方向与曲率圆在该点的开口方向一致。由此可确定二阶导的正负。

例如: 图 a 中曲线开口向上, 故二阶导大于零; 图 a 中曲线开口向下, 故二阶导小于零。

第 2 组:$\frac{f}{x}$型重要结论

1. 连续函数$f(x)$满足$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$,则有

$$\{\begin{array}{l}f(0)=0\\ f^{\prime }(0)=A\end{array}$$

2. 连续函数$f(x)$满足$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=A$,则有

$$\{\begin{array}{l}f(0)=0\\ f’(0)=0\end{array}$$

3. 局部函数法：若存在极限$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^n}=A,\text{则}x\to 0\text{时,有}f(x)=A{x}^n+o(x^n)$

第 3 组: 极值与单调性几个易错点

【补充】几个易错点:

1. 函数$f(x)$在区间$I$上严格增加, 不能推出区间$I$内有$f^{\prime }(x)>0$.

2. 若$f^{\prime }(x_0)>0$,不能说明$x=x_0$的邻域内函数$f(x)$单调增加.

3. 若函数$f(x)$在$x_0$取极大值, 不能说明左邻域单调增加, 右邻域单调减少.

如, 取函数

$$f(x)=\{\begin{array}{l}2-x^2(2+\sin \frac{1}{x}),x\ne 0\\ 2,x=0\end{array}$$

由极值定义可知, 函数$f(x)$在$x_0$取极大值。当$x\ne 0$时,$f^{\prime }(x)=-4x-2x\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}$

$$x=\frac{1}{k\pi }\text{时},f^{\prime }(\frac{1}{k\pi })=(-1{)}^k-\frac{4}{k\pi }\{\begin{array}{l}<0,k=1,\pm 3,\cdots ,\\ >0,k=-1,\pm 2,\cdots .\end{array}$$

故左右邻域内，$f^{\prime }(x)$的取值有正有负，不单调。

B. 核心问题及解题方法总结

1. 证明函数恒为常数

1. 证明函数为常数方法: 若$f^{\prime }(x)=0$, 则$f(x)=C$

2. 重要恒等式:

$$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2};$$ $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$$

【注意 1】$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$仅在$x>0$时成立。

当$x<0$时, 有$\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$

【注意 2】 arctan$e^x+arctan{e}^{-x}=\frac{\pi }{2}$恒成立。因为无论$x$取何值,$e^x$总大于 0.

2. 判别极值与单调性

l. 极值的必要条件: 设函数$f(x)$在$x_0$处可导, 且在$x_0$处取极值, 则$f^{\prime }(x_0)=0.$

【笔记】若$f(x)$在$x_0$处取极值, 则$f^{\prime }(x_0)=0$或$f^{\prime }(x_0)$不存在。

2. 极值的两个充分条件:

第一充分条件：若 $x$ 经过 $x_0$ 时，$f^{\prime }(x)$ 由正变负，则 $f(x_0)$ 为极大值；由负变正，则 $f(x_0)$ 为极小值。

第二充分条件：若 $f^{\prime }(x_0)=0$，则

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime \prime }(x_0)<0⟹f(x_0)\text{ 为极大值},\\ f^{\prime \prime }(x_0)>0⟹f(x_0)\text{ 为极小值}.\end{array}$$

3. 求极值步骤:

(1)求驻点或不可导点$:f^{\prime }(x)=0$或不可导点$\Rightarrow x=x_0$

(2)判别是否为极值点

4. 单调性定义: 设函数在$D$上有定义, 若对内任意的$x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$,有$f(x_1)<f(x_2)$,称$f(x)$在区域$D$上为严格的增函数; 若对内任意的$x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$, 有$f(x_1)>f(x_2)$,称$f(x)$在区域$D$上为严格的减函数。

3. 求函数值域

5. 求值域前先锁定自变量的范围

锁定区域

周期函数: 只需求一个周期上的值域

奇偶函数:只需求$x\ge 0(x\le 0)$时的值域

普通函数: 求全部定义域上的值域

6. 值域求解: 比较驻点,不可导点,端点函数值的大小,得出最大 (小)值

4. 保号性判别极值

7. 极值定义: 在$x_0$的去心邻域内$f(x)>f(x_0)$(或$f(x)<f(x_0))$恒成立

【笔记】(1)去心邻域同时包含左右两个邻域。

(2)常常和极限保号性一起使用。

示例: 连续函数满足$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=1$,则有$f(0)$是极小值。

例题 1. 设$f(x)$在$x=0$的某邻域内连续, 若$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-\ln (1+x)}=2$,则$f(x)$在$x=0$处 ( ) (A)不可导

(B)可导但$f^{\prime }(0)\ne 0$

(C) 取极大值

(D) 取极小值

【解】选D.由$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-1}{x-\ln (1+x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-1}{\frac{1}{2}{x}^2}=2$得$f(0)=1$,

由极限保号性, 存在$\delta >0$,当$0<|x|<\delta$时,$\frac{f(x)-1}{x-\ln (1+x)}>0$,从而$f(x)>1=f(0)$,

由极值的定义得$f(0)$为极小值, 应选 D.