版块 3 数列极限

A.实用解题工具

第 1 组: 极限性质

1. 唯一性: 若$\lim f(x)=A$,则$A$必唯一

2. 有界性: 若$\lim f(x)=A$,则必有界。分为两种情况

若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$,则存在 M>0, 存在$\delta >0$使$0<|x-x_0|<\delta$时,$|f(x)|\le M$

若$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$,则存在 M>0, 存在$X>0$使$|x|>X$时,$|f(x)|\le M$

3. 极限和的性质：

数列

发散+收敛，一定发散

收敛+收敛，一定收敛

发散+发散，可能收敛，也可能发散

5. 局部保号性:

若$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=A,A>0\left(<0\right)$,则存在$\delta >0$,使$0<|x-x_0|<\delta$时,$f\left(x\right)>0(<0).$

若$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=A,A>0\left(<0\right)$, 则存在$X>0$,使$|x|\ge X$时,$f\left(x\right)>0(<0).$

第 2 组: 极限可拆分等运算法则

1. 四则运算法则:

设$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$,则

$$\lim [f(x)+g(x)]=A+B;$$ $$\lim [f(x)-g(x)]=A-B;$$ $$\lim [f(x)g(x)]=AB;$$ $$\lim [\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{A}{B}(B\ne 0)$$

【注意】若$f(x),g(x)$的极限不存在, 则四则运算失效。推广结论: 当子极限均存在时, 母极限分可拆分。

即当$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$,存在时, 才有$\lim \{f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)$

第 3 组: 子数列的敛散性

1. 数列与其子列的极限关系: 如数列$\{x_n\}$收敛于$a$,则它的任一子数列也收敛, 且收敛于$a$注意以下命题: (数列收敛, 就是数列的极限存在)

命题 1: 若数列$\{x_n\}$收敛,则任一子数列也收敛 (正确)。

命题 2: 若数列$\left\{x_n\right\}$的某一子数列收敛, 则数列$\left\{x_n\right\}$收敛 (错误)。

命题 3: 若数列$\{x_n\}$的奇数子数列与偶数子数列均收敛, 则数列$\{x_n\}$收敛 (错误)。

命题 2、3 的反例: 设$x_{2n}=0$,$x_{2n+1}=1$。显然数列$\left\{x_n\right\}$的奇数子数列与偶数子数列均收敛, 但数列$\left\{x_n\right\}$发散。

命题 4: 若数列$\left\{x_n\right\}$的奇数子数列与偶数子数列收敛于同一数值, 则数列$\left\{x_n\right\}$收敛 (正确)。

B . 核心问题及解题方法总结

1. 利用夹通准则求极限

笔记 1: 夹逼及伪夹逼

1. 夹逼定理$:x_n\le y_n\le z_n;\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=a($夹), 则$\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n=a($逼)

示例:$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n})=\frac{1}{2}$

1. 伪夹逼定理: 若$x_n\le y_n\le z_n,\underset{n\to \infty }{\lim }(z_n-x_n)=0$,则$\left\{y_n\right\}$极限存在。

【注意】该说法错误。

例如$x_n=n-\frac{1}{n},y_n=n,z_n=n+\frac{1}{n}$

笔记 2: 定积分定义与夹通定理结合

无穷个无穷小相加, 有两种思路。第一种是定积分定理求极限, 第二种是夹逼定理求极限。这两个方法并无完全分离。定积分定义与夹逼定理也可以结合在一起出考题。

笔记 3: 夹逼准则的经典应用:最大值函数

最大值函数：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x^n+y^n}=\max (x,y)(x,y>0)$$

示例：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}\left(x\ge 0\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le x<1\\ x,& 1\le x<2\\ x^2/2& x\ge 2\end{array}$$

2. 单调有界准则求极限

笔记 1: 单调有界及常用不等式

1. 单调有界: 单调递增、有上界的数列必有极限 (或单调递减、有下界的数列必有极限) 2. 常用不等式:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a\ge 0,b\ge 0);\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}(a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0);\sin x<x(x>0),\ln (1+x)<x(x>0)$$

例题 1; 设$a>0,x_1>0$,且定义$x_{n+1}=\frac{1}{4}(3x_n+\frac{a}{x_n^3})(n=1,2,\cdots )$,证明$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$存在并求其值.

【证明】因为正数的算术平均数不小于几何平均数, 所以有

$$x_{n+1}=\frac{1}{4}(3x_n+\frac{a}{x_n^3})=\frac{x_n+x_n+x_n+\frac{a}{x_n^3}}{4}\ge \sqrt[4]{x_n\cdot x_n\cdot x_n}\cdot \frac{a}{x_n^3}=\sqrt[4]{a}\left(n=2,3,\cdots \right),$$

从而$x_{n+1}-x_n=\frac{1}{4}\left(\frac{a}{x_n^3}-x_n\right)=\frac{a-x_n^4}{4x_n^3}\le 0\left(n=2,3,\cdots \right)$

故$\{x_n\}$单调减少, 再由$x_n\ge 0(n=1,2,\cdots )$,则$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$存在, 令$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$,等式$x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3x_n+\frac{a}{x_n^3}\right)$

两边令$n\to \infty$得$A=\frac{1}{4}(3A+\frac{a}{A^3})$,解得$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A=\sqrt[4]{a}.$

笔记 2: 利用函数判别数列单调性

若数列$\left\{a_n\right\}$满足递推关系$a_{n+1}=f(a_n)$。则有以下判别法。

若$f^{\prime }(x)\ge 0$,数列$\{a_n\}$单调, 但不一定递增。如果$a_2-a_1>0$则数列递增: 如果$a_2-a_1<0$,则数列递减。

如何理解？ 从拉格朗日公式着手。

$$a_{n+1}-a_n=f(a_n)-f(a_{n-1})=f^{\prime }({\xi }_n)(a_n-a_{n-1})=f^{\prime }({\xi }_n)f^{\prime }({\xi }_{n-1})(a_{n-1}-a_{n-2})$$ $$=\cdots =f^{\prime }({\xi }_n)f^{\prime }({\xi }_{n-1})\cdots f^{\prime }({\xi }_2)(a_2-a_1)$$

当$f^{\prime }(x)\ge 0$时, 有$f^{\prime }({\xi }_n)f^{\prime }({\xi }_{n-1})\cdots f^{\prime }({\xi }_2)\ge 0$,此时$a_{n+1}-a_n$必单调, 且符号由$(a_2-a_1)$确定。

笔记 3: 单调有界的几个问题

1. 关于单调性: 前 N 项可以不单调。后续无穷项单调, 即满足单调性条件。

2. 关于有界性: 数列严格单调递增有上界, 则极限值不会取下界。3. 单调有界只是充分条件, 并非必要条件。换句话说, 数列极限存在, 不一定要单调 (但一定有界)。

4. 无界与无穷大的区别

1. 定义:

$$\{\begin{array}{l}{x}_n\\ x_n\end{array}$$

是无穷大量$:\forall M>0,\exists N$,当$n>N$时, 恒有$|x_n|>M$

数列$\{x_n\}$是无界量:$\forall M>0,\exists N$,使得$|x_N|>M$

2. 两者关系: 无穷大量一定是无界变量; 但无界变量不一定是无穷大量

示例: 数列

$$x_n=\{\begin{array}{l}n,n\text{为奇数}\\ 0,n\text{为偶数}\end{array}$$

是无界变量, 但不是无穷大

5. 求解方程根数列的极限

此时无法将数列的表达式求出, 只能间接求解。具体方程参考下方例题。

例题 1. 已知$f_n(x)=x+x^2+\cdots +x^n(n=2,3,\cdots ).$

(1)证明方程$f_n(x)=1$有唯一的正根$x_n$.

(2)证明数列$\{x_n\}$收敛. 并求其极限.

【解】(1)令$g_n(x)=f_n(x)-1(n=2,3,\cdots )$,可见$g_n(x)$在$[0,1]$连续,$g_n(0)=-1$,$g_n(1)=n-1>0.$

根据零点定理,$g_n(x)$在$(0,1)$内至少有一个零点$x_n$.即方程$f_n(x)=1$至少有一个正根$x_n$.

又当$x>0$时,$g_n^{\prime }(x)=1+2x+\cdots +n{x}^{n-1}>0$.所以$g_n(x)$在$(0,+\infty )$内至多有一个零点, 从而方程$f_n(x)=1$有唯一的正根$x_n$.

(2)因为$x_n>0$。$x_n+x_n^2+\cdots +x_n^n=x_{n+1}+x_{n+1}^2+\cdots +x_{n+1}^n+x_{n+1}^{n+1}$

所以$x_n>x_{n+1}$,且$0<x_n<1(n=2,3,\cdots )$.根据单调有界准则, 数列$\left\{x_n\right\}$收敛.

令$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a,$则$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n+x_n^2+\cdots +x_n^n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n(1-x_n^n)}{1-x_n}=\frac{a}{1-a}=1,$

所以$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\frac{1}{2}.$