版块 21 常数项级数

A. 实用解题工具

第 1 组: 常用参比级数

3 组常用级数

常用级数

$$\{\begin{array}{l}\text{ 等比级数 }\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}\{\begin{array}{l}\text{ 收敛,}\left|r\right|<1\\ \text{ 发散,}\left|r\right|\ge 1\end{array}\\ p-\text{ 级数 }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}\text{ 收敛,}p>1\text{ 时 }\\ \text{ 发散,}p\le 1\text{ 时 }\end{array}\\ \text{ 交错版 }p-\text{ 级数 }\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}p>1,\text{ 绝对收敛 }\\ 0<p\le 1,\text{ 条件收敛 }\\ p\le 0,\text{ 交散 }\end{array}\end{array}$$

第 2 组: 级数的常用性质

1. 倍数不改变敛散性: 设 $c\ne 0$ 的常数,则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }c{u}_n$ 有相同敛散性

第 2 组: 级数的常用性质

1. 倍数不改变敛散性: 设 $c\ne 0$ 的常数,则 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\infty }c{u}_n$ 有相同敛散性

2. 级数和的敛散性

$$\{\begin{array}{l}\text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛,}\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{ 发散,则 }\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n\pm v_n\right)\text{ 发散. }\\ \text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{ 均发散,则 }\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n\pm v_n\right)\text{ 敛散性不定. }\\ \text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n=s,\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n=\sigma ,\text{ 则 }\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n\pm v_n\right)=s\pm \sigma .\end{array}$$

3. 加括号

$$\{\begin{array}{l}\text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛,则 }\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n+u_{n+1}\right)\text{ 收敛 }\\ \text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }\left(u_n+u_{n+1}\right)\text{ 收敛,则 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 不一定收敛 }\end{array}$$

第 3 组: 级数之和的敛散性

（1）绝对收敛 $\pm$ 条件收敛 $=$ 条件收敛;

（2）绝对收敛 $\pm$ 绝对收敛 $=$ 绝件收敛;

（3）条件收敛 $\pm$ 条件收敛 $=$ 条件收敛或绝对收敛;

例题 1: 设常数 $k>0$ ,则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{k+\sin n}{n^2}\left(\right)$ .

(A) 发散 (B) 绝对收敛

(C) 条件收敛 (D) 敛散性与 $k$ 有关

【解】选 B. 因为 ${\left(-1\right)}^n\frac{k+n}{n^2}={\left(-1\right)}^n\frac{k}{n^2}+\frac{{\left(-1\right)}^n}{n}$ ,而 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{k}{n^2}$ 绝对收敛, $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{\sin n}{n^2}$ 绝对收敛,所以 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{k+n}{n^2}$ 绝对收敛,选 B.

B. 核心问题及解题方法总结

1. 利用正项级数审敛法判别正项级数敛散性

1. 比较审敛法: 设

$$0\le u_n\le v_n\{\begin{array}{l}\text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{ 收敛,则 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛 }\\ \text{ 若 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 发散,则 }\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{ 发散 }\end{array}$$

2. 比较审敛法极限形式:

$$0\le u_n,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=A\{\begin{array}{l}\text{ 若 }0\le A<+\infty ,\text{ 且 }\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{ 收敛,则 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛 }\\ \text{ 若 }0<A\le +\infty ,\text{ 且 }\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n\text{ 发散,则 }\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 发散 }\end{array}$$

3. 比值,审敛法: 设 $0\le u_n$ ,若

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho \{\begin{array}{l}\rho >1\text{时,}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 发散 }\\ \rho =1\text{ 时,}\text{ 方法失效 }\\ \rho <1\text{ 时,}\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\text{ 收敛 }\end{array}$$

2. 利用莱布尼茨法判别交错级数敛散性

莱布尼茨审敛法:

若 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n-1}{u}_n,\left(u_n>0\right)$ 满足条件

(1) $u_n\ge u_{n+1},\left(n=1,2,\cdots \cdots \right):\left(2\right)\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$

则交错级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n-1}{u}_n$ 收敛