版块 2 极限的运用

A.实用解题工具

第 1 组：常用函数及图像

反正切函数$y=\arctan x$

1.$\underset{x\to +\infty }{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\infty }{\lim }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$

2. 奇函数，且$x>0$时，$\arctan x<x$

3. 与$y=\tan x$关于直线$y=x$对称

反正弦函数$y=\arcsin x$

1. 奇函数，且 x>0 时，$\arcsin x>x$

2. 与$y=\sin x$关于直线$y=x$对称

3. 注意$y=\arcsin x$定义域与值域

取整函数$y=[x]$

1. 函数图像左闭右开

2. 整数点均为跳跃间断点

3.$y=[x]-x$为周期函数

符号函数

$$y=\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{l}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$$

正切函数$y=\tan x$

1. 自带间断点$x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k)=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$

2. 区分左右极限

$$\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\tan x=-\infty ,\underset{x\to {\frac{\pi }{2}}^{+}}{\lim }\tan x=+\infty$$

第 2 组：几类极限函数

1. 类型 1:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nx}=\{\begin{array}{ll}+\infty ,x>0& \\ 1& ,x=0\\ 0& ,x<0\end{array}$$

示例：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{\pi x}+x}{2{\mathrm{e}}^{\pi x}+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& x>0\\ \frac{1}{3},& x=0\\ x,& x<0\end{array}$$

2. 类型 2：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{\pi x}+x}{2{\mathrm{e}}^{\pi x}+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& x>0\\ \frac{1}{3},& x=0\\ x,& x<0\end{array}$$

示例：$x\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\cos x+1}{n+2}=x\cos x$

3. 类型 3：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}\infty & |x|>1\\ 1& x=1\\ (-1{)}^n& x=-1\\ 0& |x|<1\end{array}$$

示例：

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{2n+1}+a{x}^2+bx}{x^{2n}+1}=\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx,|x|<1\\ x,|x|>1\\ \frac{a-b-1}{2},x=-1\\ \frac{a+b+1}{2},x=1\end{array}$$

4. 类型 4：$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{x^n+y^n}=\max (x,y)(x,y>0)$

示例：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}\left(x\ge 0\right)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le x<1\\ x,& 1\le x<2\\ x^2/2& x\ge 2\end{array}$$

第 3 组：需区分左右极限

1. 反正切函数：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\arctan \frac{1}{x}\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}\end{array}$$

2. 指数函数：

$$\underset{x\to 0}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=+\infty \\ \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=0\end{array}$$

3. 含有绝对值的函数：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{|x|}\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{|x|}=1\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{|x|}=-1\end{array}$$

B .核心问题及解题方法总结

1. 判别无穷小

笔记 1：无穷小的性质

无穷小的基本性质：

1. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小。

2. 有限个无穷小的乘积仍为无穷小。

3. 无穷小乘以有界变量仍为无穷小。例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$$

4. 在自变量的同一变化过程中，若 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。

笔记 2：无穷小的比较

设

$$L=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$$

当 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都趋于 $0$ 时，常见的比较结果有：

• $L=0$：$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小。

• $L=\infty$：$f(x)$ 是 $g(x)$ 的低阶无穷小。

• $L=c$，且 $c\ne 0,1$：$f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶非等价无穷小。

• $L=1$：$f(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小，记作 $f(x)\sim g(x)$。

当 $x\to 0$ 时，若 $f(x)$ 是 $x$ 的 $k$ 阶无穷小，则

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^k}=c(c\ne 0)$$

笔记 3：如何比较含变限积分的无穷小

1. 求导：比较导函数的阶。导函数阶的相对大小关系与函数一致。

2. 使用等价无穷小：若 $f(x)\sim g(x)$，则

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$$

例如：

$${\int }_0^x\sin t\mathrm{d}t\sim {\int }_0^{x}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}{x}^2$$

2. 判断连续性

在 $x=x_0$ 处：

• 连续：函数值等于极限值，即

$$f(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

• 左连续：函数值等于左极限值，即

$$f(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$$

• 右连续：函数值等于右极限值，即

$$f(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

• 连续的完整条件：

$$f(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$$

更复杂的情况是判断导函数的连续性。

3. 求解间断点

笔记 1：牢记间断点的分类

间断点

第一类：

可去间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$（左右极限均存在，且相等）

跳跃间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$（左右极限均存在，但不相等）

第二类：

无穷间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\infty$或$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\infty$（双侧有定义，至少一侧无穷大）

振荡间断点：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \infty$但为振荡，也不存在（双侧有定义，至少一侧振荡）

笔记 2: 注意这些细节

1. 注意某些函数自带间断点: 若$\tan x,[x]$, 分段函数

2. 间断点需要双侧邻域均有定义, 如$y=\ln (x+1),x=-1$不是间断点 (因为左侧无定义)

3. 振荡间断点的例子:$x=0$是函数$\sin \frac{1}{x}$的振荡间断点

笔记 3: 分子抢救法反推参数

1. 分母为零时的间断点：

$\frac{M}{0}$型:无穷间断点$(M\ne 0)$

$\frac{0}{0}$型:可能为一类间断点

例题 1. 若函数$f(x)=\frac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$, 且$x=e$为无穷间断点,$x=1$为可去间断点, 则$a,b$为 ( )

(A)$a=1,b=e$

(B)$a=e,b=1$

(C)$a=1,b={\mathrm{e}}^{\mathrm{e}}$

(D)$a={\mathrm{e}}^{\mathrm{e}},b=1$

【答案】A

【解】由间断点可知, 必有$a=e,b=1$或$a=1,b=e$。

说明: 因为$x=1$为可去间断点, 且分母为零, 此时必有分子也为零 (否则$x=1$必为无穷间断)即 e${}^{\mathrm{l}}-b=0\Rightarrow b=$e , 故$a=1,b=e$

4. 求解渐近线

笔记 1: 渐近线的类型及求解

1. 曲线的渐近线

垂直渐近线:$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }y=\infty$(或$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }y=\infty$)

水平渐近线$\underset{x\to \infty }{\lim }y=c$(或$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=c$)

斜渐近线$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{y}{x}=k;\underset{x\to -\infty }{\lim }(y-kx)=b$与此同理)

2. 求解时按照顺序: (1)垂直 (2)水平 (3)斜渐近线

3. 在坐标轴同一侧, 水平与斜渐近线不可兼得。如$x\to +\infty$时, 已经取得了水平渐近线, 不可能再取到斜渐近。

笔记 2: 无穷泰勒法求渐近线

可利用无穷泰勒法快速求解某些渐近线。

当$x\to \infty$时, 可将$\frac{1}{x}$视为整体, 套用泰勒公式 (一般低阶即可满足)。

$$\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})\\ \cos \frac{1}{x}=1-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})\\ \sin \frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{6}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3});\arcsin x=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3})\\ \tan \frac{1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3});\arctan x=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3})\\ \ln (1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})\\ \sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{2}\frac{1}{x}-\frac{1}{8}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2});\end{array}$$

【注意】不用特意记上面的公式, 只需记住$t\to 0$时的泰勒公式, 再将$t=\frac{1}{x}$带入即可

例题 1. 曲线$y=(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$的斜渐近线方程为

【解】e${}^t=1+t+\frac{1}{2}{t}^2+o(t^2)$,令$\frac{1}{x}=t$,则有$e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$

所以$x\to \infty$时,

$$(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$$ $$=(2x-1)(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2}))=2x+1+o(1)$$

所以曲线$y=(2x-1){\mathrm{e}}^{\frac{1}{\mathrm{x}}}$的斜渐近线方程为$y=2x+1$

笔记 3: 隐函数的渐近线 (小白绕行)

用隐函数$x^3+y^3-2xy=0$为例, 展示隐函数渐近线的求解方法。这部分不是重点, 基础薄弱可跳过。

【解】原式可化为$x\left(x^2-2y\right)+y^3=0,$当$x\to \infty$时,$y$不可能趋于一确定数值。

原式还可化为$y\left(y^2-2x\right)+x^3=0$,当$y\to \infty$时,$x$也不可能趋于一确定数值。所以该曲线无水平渐近线和垂直渐近线. 下面讨论斜渐近线。

又原式可化为$\left(\frac{y}{x}\right)\left(\frac{2}{x}-{\left(\frac{y}{x}\right)}^2\right)=1$，故由$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{y}{x}\right)(\frac{2}{x}-(\frac{y}{x}{)}^2)=1,\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2}{x}=0$

得$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{y}{x}\right)}^3=-1,$即$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=-1.$

因为$x^3+y^3-2xy=0⟹(x+y)(x^2+y^2-xy)-2xy=0$

$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y+x)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2-xy+y^2}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2\frac{y}{x}}{1-\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}=-\frac{2}{3}.$$

所以该曲线有斜渐近线$y=-x-\frac{2}{3}.$