版块 16 偏导数的应用

B. 核心问题及解题方法总结

1. 从极限到极值

极值定义

若在点$(x_0,y_0)$的去心邻域内, 恒有$f(x,y)>f(x_0,y_0)$,则$f(x_0,y_0)$为极小值

若在点$(x_0,y_0)$的去心邻域内, 恒有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$,则$f(x_0,y_0)$为极大值

【笔记】常常和极限保号性连用判断极值情况

1. 设二元函数$f(x,y)$在点 (0,0)的某一邻城内连续, 且满足$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+1-x\sin y-{\cos }^{2}y}=-1,$则$f(x,y)$在点 (0,0)处 ( ).

(A) 取得极大值 (B) 取得极小值

(C) 不取得极值 (D)是否取得极值不确定

【解】选 A.因为$f\left(x,y\right)$在点 (0,0)的某一邻城内连续, 且$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f\left(x,y\right)-f\left(0,0\right)}{x^2+1-x\sin y-{\cos }^{2}y}=-1<0,$

由极限保号性可知,在点 (0,0)的某一去心邻域内有$\frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+1-x\sin y-{\cos }^{2}y}<0,$

而分母$=x^2+1-x\sin y-{\cos }^{2}y={\left(x-\frac{1}{2}\sin y\right)}^2+\frac{3}{4}{\sin }^{2}y>0,$

所以$f(x,y)-f(0,0)<0$,即$f(x,y)<f(0,0)$,故$f(x,y)$在点 (0,0)处取得极大值, 故选 A.

2. 多元函数普通极值

多元函数普通极值三步走

第一步: 先求驻点:$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$

第二步：求二阶偏导：

$$\{\begin{array}{l}A=f_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ B=f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ C=f_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\end{array}$$

第三步: 判别

情况 1:$AC-B^2>0$,有极值

当 A>0时取极小值

当 A<0时取极大值

情况 2:$AC-B^2=0,$不确定

（1）用极值定义证明存在

（2）取一个反例说明不存在

情况 3:$AC-B^2<0$,无极值

3. 多元隐函数极值

1.三元方程确定二元隐函数。二元方程, 确定一元隐函数。

2.隐函数的极值判别法与显函数一致, 仅偏导求解方法不同,

4. 求解多元函数条件极值

1. 拉格朗日法求解条件极值:

第一步: 寻找极值函数$f(x,y)$与约束条件$\phi (x,y)=0$,构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$

第二步: 求偏导数, 解出可能的极值点:

$$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\lambda \frac{\partial \phi }{\partial x}=0$$ $$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}+\lambda \frac{\partial \phi }{\partial y}=0$$ $$\frac{\partial F}{\partial \lambda }=\phi (x,y)=0$$

第三步: 根据实际意义说明极值或最值存在

2. 降维法：将约束条件带入函数表达式, 可消去一个未知数, 从而变成低维的极值。