版块 12 化为微分及解的性质

A.实用解题工具

第 1 组: 由解反推微分方程

由解反推

齐次$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by$

(1)若齐次解中出现$e^{{\lambda }_{1}x}$, 则${\lambda }_1$为方程的特征根

(2)若齐次解中出现$x^k$e${}^{{\lambda }_{1}x}$,则${\lambda }_1$为方程的$k+1$重特征根

(3)若齐次解中出现$x^k{e}^{\alpha x}\cos \beta x$或$x^k{e}^{\alpha x}\sin \beta x$.则$\lambda =\alpha \pm \beta i$为方程的$k+1$组特征根

非齐次$f(x)$

(1)非齐次解中$e^{\lambda x}$一定来自于微分方程非齐次部分$f(x)$

(2)若相对于$f(x)$而言, 非齐次解中多项式的阶次升高, 则升高源自左右同根

(3)设非齐次部分对应的解为$y^{\ast }$, 求导后代入方程左侧, 可解出$f(x)$

B .核心问题及解题方法总结

1. 偏微分方程化为微分方程

方法: 源自偏微分方程$:f(g(x,y))$的偏微分可化为常微分方程, 进而求$f(u)$

【笔记】并非所有偏微分方程均可化为常微分方程。能够化为常微分方程的特点是, 多元函数$f(g(x,y))$是一元函数$f(t)$与多元函数$g(x,y)$的复合。只有这种建立在一元函数$f(t)$基础上的偏导数方程, 才能化为常微分方程。

例题 1. 设$f(u)$具有二阶连续导数,$z=f\left(e^x\sin y\right)$满足$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=e^{2x}z.$

(1)若$f\left(0\right)=f^{\prime }\left(0\right)=1,$设$g\left(x\right)=x^{4}f(x)$, 求$g^{(n)}(0)(n\ge 4)$

(2)若$f\left(0\right)=1,f^{\prime }\left(0\right)=-1$, 求积分${\int }_0^{+\infty }{x}^{3}f(x)dx$

【解】$f^{\prime }(u)-f\left(u\right)=0.$

(1)$f\left(0\right)=f^{\prime }(0)=1$

解得$f\left(u\right)=e^u$

$$\begin{array}{rl}& \text{由}{e}^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}\text{得}g\left(x\right)=x^4{e}^x=x^4\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}{x}^{n+4}.\text{由幂级数系数的唯一性,}\frac{g^{(n+4)}(0)}{\left(n+4\right)!}=\frac{1}{n!}.\text{所以}\\ & g^{(n)}\left(0\right)=\frac{n!}{\left(n-4\right)!}(n\ge 4)\end{array}$$ $${\int }_1^{+\infty }{x}^3{e}^{-x}dx=3!=6$$

(2)$f(0)=1,f^{\prime }(0)=-1$解得$f\left(u\right)=e^u$ ${\int }_0^{+\infty }{x}^3{e}^{-x}dx=3!=6$

(此处使用了伽马函数, 也可用分部积分得到同样的结果)

2. 变限积分方程化为微分方程

方法: 源自变限积分方程:

$$\{\begin{array}{l}\text{变限积分方程通常化为常微分方程求解}\\ \text{二重变限积分方程通常化为常微分方程求解}\end{array}$$

【笔记】变限积分方程无法直接求解, 需要求导后转化为微分方程。

例题 1. 设$f\left(x\right)=\sin x-{\int }_0^x\left(x-t\right)f\left(t\right)dt$,其中$f\left(x\right)$为连续函数.

(l)求$f\left(x\right)$的表达式: (2)求积分${\int }_0^{\pi }x{f}^{\prime \prime }(x)dx$

【解】(1)求$f(x)$的表达式

$$f\left(x\right)=\sin x-x{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt+{\int }_0^{x}tf\left(t\right)dt(f(0)=0);f^{\prime }\left(x\right)=\cos x-{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt(f^{\prime }(0)=1);$$

$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=-\sin x$,结合$f(0)=0,f^{\prime }(0)=1$,可求得$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{2}x\cos x.$

(2)求积分${\int }_0^{\pi }x{f}^{\prime \prime }(x)dx$

$${\int }_0^{\pi }x{f}^{\prime \prime }\left(x\right)dx={\int }_0^{\pi }x[-\frac{3}{2}\sin x-\frac{1}{2}x\cos x]dx=-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }(3x\sin x+x^2\cos x)dx$$

其中${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\pi$

其中${\int }_0^{\pi }{x}^2\cos xdx={\int }_0^{\pi }{x}^{2}d\sin x=\cdots ={\left[x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x\right]}_0^{\pi }=-2\pi$

所以原式等于$-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }(3x\sin x+x^2\cos x)dx=-\frac{1}{2}(3\pi -2\pi )=-\frac{\pi }{2}$

3. 变量替换将变系数化为常系数

方法: 源自变系数微分: 变系数微分方程通常化为常系数求解

例题 1: 利用变换$x=\arctan t$将方程${\cos }^{4}x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+{\cos }^{2}x(2-\sin 2x)\frac{dy}{dx}+y=\tan x$化为$y$关于$t$的方程, 并求原方程的满足初始条件$y(0)=-2,y^{\prime }(0)=2$的解

【解】$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt}=\left(1+t^2\right)\frac{dy}{dt}$

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)/dt}{dx/dt}={\left[\left(1+t^2\right)\frac{dy}{dt}\right]}^{\prime }\cdot \left(1+t^2\right)={\left(1+t^2\right)}^2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2t\left(1+t^2\right)\frac{dy}{dt},$$

代入原方程整理得：$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+y=t.$

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+y=0$的特征方程为${\lambda }^2+2\lambda +1=0,$特征值为${\lambda }_1={\lambda }_2=-1。$同时可求得非齐次方程的一个特解为$t-2$

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}+y=t$的通解为$y=\left(C_1+C_{2}t\right)e^{-t}+t-2$, 故原方程通解为

$$y=\left(\begin{array}{c}{C}_1+C_2\tan x\end{array}\right)e^{-\tan x}+\tan x-2.$$

由初始条件可得

$$\{\begin{array}{l}y(0)=C_1-2=-2,\\ y^{\prime }(0)=C_2+1=2,\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{C}_1=0,\\ C_2=1.\end{array}$$

所以

$$y=e^{-\tan x}\tan x+\tan x-2.$$

4. 由解反求微分方程的齐次部分

由解反推齐次部分$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$的方法:

(1)若齐次解中出现$e^{{\lambda }_{1}x}$,则${\lambda }_1$为方程的特征根

(2)若齐次解中出现$x^k{e}^{{\lambda }_{1}x}$,则${\lambda }_1$为方程的$k+1$重特征根

(3)若齐次解中出现$x^k{e}^{\alpha x}\cos \beta x$或$x^k{e}^{\alpha x}\sin \beta x$, 则$\lambda =\alpha \pm \beta i$为方程的$k+1$组特征根

例题 1. 以$y_1=x{e}^{-x},y_2=e^x\sin 2x$为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 ( )

A.$y^{(4)}+2y^{\prime \prime }+8y^{\prime }+5y=0$

B.$y^{(4)}-2y^{\prime \prime }+8y^{\prime }+5y=0$

C.$y^{(4)}+2y^{\prime \prime }-8y^{\prime }+5y=0$

D.$y^{(4)}+2y^{\prime \prime }+8y^{\prime }-5y=0$

【解】选 A.由题设可得该方程的四个特征根分别为

$$r_1=r_2=-1,$$ $$r_{3,4}=1\pm 2i$$

, 因此相应的特征方程为$\left(r^2+2r+1\right)\left(r^2-2r+5\right)=0,\text{即为}{y}^{(4)}+2y^{\prime \prime }+8y^{\prime }+5y=0,$故选 A。

5. 由解反求微分方程的非齐次部分

由解反推微分方程$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(x)$的非齐次部分$f(x)$

(1)非齐次解中 e${}^{\lambda x}$一定来自于微分方程非齐次部分$f(x)$

(2) 若相对于$f(x)$而言, 非齐次解中多项式的阶次升高, 则升高源自左右同根

(3) 设非齐次部分对应的解为$y^{\ast }$, 求导后代入方程左侧, 可解出$f(x)$