版块 1 极限的计算方法

A.实用解题工具

第 1 组四大恒等变形的技巧

技巧 1：幂指函数指数化：$x=e^{\ln x}$

推广结论：$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e=e^{\frac{1}{x}\ln (1+x)}-e=e(e^{\frac{\ln (1+x)-x}{x}}-1)\sim e\frac{\ln (1+x)-x}{x}\sim \frac{-ex}{2}$

所以有$n\to \infty$时，$(1+\frac{1}{n}{)}^n-e$是$\frac{1}{n}$的同阶非等价无穷小

技巧 2：含根式加减，用根式有理化：$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}};\sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

技巧 3：同函数相减，用拉格朗日.$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$

例题 1：$\underset{n\to \infty }{\lim }(\arctan \sqrt{n+3\sqrt{n}}-\arctan \sqrt{n-\sqrt{n}})=$

【解】：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\arctan \sqrt{n+3\sqrt{n}}-\arctan \sqrt{n-\sqrt{n}}\right)$$ $$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+{\xi }^2}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}\right)$$ $$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+{\xi }^2}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4\sqrt{n}}{\sqrt{n+3\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=0$$

技巧 4：无穷大代成无穷小：$x=\frac{1}{t}$

第 2 组几个常用的极限

1. 0 次方：$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x=1,$

2. 对数屏蔽：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\sigma }\ln x=0(\sigma >0)$

3. 指数最快：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^k}{e^x}=0$（$k$为有限数）

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n}{b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m}=\{\begin{array}{l}\frac{a_n}{b_n},n=m\\ 0,n<m\\ \infty ,n>m\end{array}$$

第 3 组七类未定式及其解法

1. 七种未定式相互转换的关系图：

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }⟸0\cdot \infty ⟸\left\{1^{\infty },{\infty }^0,0^0\right\},\infty -\infty .$$

2.$\frac{0}{0}$型的常用解法：

等价无穷小. 示例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{\cos x}-1}{2^x-2^{\ln (1+x)}}=-\frac{1}{2\ln 2}$

洛必达法则. 示例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sqrt{x-t}{e}^{t}dt}{\sqrt{x^3}}=\frac{2}{3}$

泰勒公式. 示例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-e^{x/2}}{x-\ln (1+x)}=-\frac{1}{2}$

3.$\frac{\infty }{\infty }$型的常用解法：

洛必达法则. 示例：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^x(1+t^2)e^{t^2-x^2}dt}{x}=\frac{1}{2}$

上下同除最高阶无穷大. 示例：$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}=1$

4.$1^{\infty },{\infty }^0,0^0$型的常用解法：

取对数后化为$0\cdot \infty$型. 示例：

①$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\sin 2x}=1;$

②$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(\cot x{)}^{\frac{1}{\ln x}}=e^{-1}$

$1^{\infty }$另解：$1^{\infty }=(1+0{)}^{\infty }=e^{0-\infty }.$示例：$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left[\frac{{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x}{e}\right]}^x=e^{-\frac{1}{2}}$

特别地，对于重要极限$1^{\infty },$推荐采用此方法：

$$\{\begin{array}{l}\text{方法}:1^x=(1+0{)}^x=e^{0\cdot \infty }\\ \text{示例}:\underset{x\to 0}{\lim }(\cos x{)}^{\frac{1}{x^2}}=e^{-\frac{1}{2}}\end{array}$$

5.$0\cdot \infty$的常用解法：

化为$\frac{\infty }{\infty }$型. 示例：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x\cdot \ln (1-x)=0$

化为$\frac{0}{0}$型.$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(\frac{\pi }{2}-\arctan x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{\pi }{2}-\arctan x}{\frac{1}{x}}=1$

6.$\infty -\infty$的常用解法：

通分. 示例：$\underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1}{x^2}-{\cot }^{2}x)=\frac{2}{3}$

根式有理化. 示例：$\underset{x\to +\infty }{\lim }(2x-\sqrt{4x^2+4x+2})=-1$

提取公因式. 示例：同上

B .核心问题及解题方法总结

笔记 1：等价无穷小及推广结论

1. 常用等价无穷小

等价无穷小

$x\to 0$时，

$$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arctan x\sim x,\arctan x\sim x$$ $$e^x-1\sim x,\ln \left(1+x\right)\sim x,a^x-1=e^{x\ln a}-1\sim x\ln a(a>0\text{且}a\ne 1)$$ $$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,1-{\cos }^{\alpha }x\sim \frac{\alpha }{2}{x}^2,{\left(1+x\right)}^{\alpha }-1\sim \alpha x(\alpha \ne 0)$$

推广结论 1：$\sqrt[n]{\cos x}-1=\sqrt[n]{1+\cos x-1}-1\sim \frac{1}{n}(\cos x-1)\sim \frac{-1}{2n}{x}^2$

推广结论 2：$\ln (\cos x)=\ln (1+\cos x-1)\sim \cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$

笔记 2：熟记这些固定搭配可加快解题

固定搭配$(x\to 0)$

$$x-\sin x=\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3);x-\arcsin x=-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$$ $$x-\tan x=-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3);x-\arctan x=\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$$ $$x-\ln (1+x)=\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)$$

推广结论 1：由固定搭配可知，出现$ax-\sin x$或$x-\sin ax$时，$a=1$

推广结论 2：不难发现，$x,\sin x,\arcsin x,\tan x,\arctan x$中任意两函数之差为 3 阶无穷小。

示例：若存在非零常数$c,k$使得$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x^k}=c$成立。则必有$k=3$

笔记 3：无穷小代换，何时能，何时不能

记住一个原则：上下同阶。先确定分子或分母的阶，再将剩余项展开到同样的阶（精度）。

情形 1：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$（可用等价无穷小）

说明：原则是分子分母同阶。由于分母为 1 阶，所以 sinx 展开到 1 阶即可。此时就是等价无穷小。

情形 2：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}$(不可用)

说明：原则是分子分母同阶，由于分母为 3 阶，所以 sinx 需展开到 3 阶。此时不能用等价无穷小。

情形 3：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(e^x-1)(1-\cos x)}{x^3}$（可用）

说明：$(e^x-1)$与其他项$\frac{(1-\cos x)}{x^3}$是相乘关系，所以$e^x-1$可用等价无穷小

1. 等价无穷小求极限

试题 1. 求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2-2^{\sqrt{\cos x}}}{x\sqrt{1+\sin x}-x}$

【解】$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2-2^{\sqrt{\cos x}}}{x\sqrt{1+\sin x}-x}$

$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^{\sqrt{\cos x}}(2^{1-\sqrt{\cos x}}-1)}{x(\sqrt{1+\sin x}-1)}$$ $$=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1-\sqrt{\cos x})\ln 2}{x\cdot \frac{1}{2}\sin x}$$ $$=4\ln 2\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{4}{x}^2}{x^2}$$ $$=2\ln 2$$

2. 洛必达法则求极限

笔记 1：洛必达法则的内容

使用条件：

1. 满足$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty }{\infty }$型

2.$f(x),g(x)$在$x_0$去心邻域内可导，且$g^{\prime }(x)\ne 0$. 则有$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

3.$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$为有限实数或无穷大

【说明】上述法则在$x\to \infty$时也成立。

笔记 2：这些场合不能使用洛必达法则

场合 1：

$\frac{\infty }{\infty }$时洛后极限不存在。

示例：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\cos x}{x}$不可洛。因为洛后的极限$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\sin x)$不存在

场合 2：

$\frac{0}{0}$时洛后极限不存在。

示例：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+x^2\sin \frac{1}{x}}{x}$不可洛。因为洛后极限$\underset{x\to 0}{\lim }(2+2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x})$不存在

场合 3：

已知$f(0)=0,f^{\prime }(0)=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}$不可洛。因为洛后的极限$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$不一定存在。

所以，一般来讲，抽象函数要在导函数$f^{\prime }(x)$连续时，才可对$f(x)$使用洛必达法则。

笔记 3：这些场合需使用洛必达法则

场合 1：

含变限的极限.

示例：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^x(1+t^2)e^{t^2-x^2}dt}{x}=\frac{1}{2}$

场合 2：

某些无法用等价或泰勒的$\frac{0}{0}$型极限.

示例：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{\pi }{2}-\arctan x}{1/x}=1$

场合 3：某些$\frac{\infty }{\infty }$型极限，

示例：$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\tan x}{\tan 3x}=3$

3. 泰勒公式求极限

笔记 1：如何记泰勒公式，并求极限

牢记以下几个函数的泰勒公式$(x\to 0)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$【口诀】完美（各项均$\frac{x^n}{n!}$，且不缺项）

$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$【口诀】+-奇（正负交替，仅奇数项）

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$【口诀】+-偶（正负交替，仅偶数项）

$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}+o(x^n)$【口诀】+-无！（正负交替，无阶乘）

$$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

笔记 2：抽象函数满足可导条件时，也可进行泰勒展开

抽象函数$f(x)$在原点展开得到：

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(0)x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

笔记 3：记住以下常见泰勒公式及推广结论，加快解题速度

$$\sin x=x-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3);$$ $$\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$$ $$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+o(x^5);$$ $$\arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)$$ $$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+o(x^2);$$

推广结论 1：

$$e^x-e^{\sin x}=e^{\xi }(x-\sin x)\sim (x-\sin x)\sim \frac{1}{6}{x}^3$$ $$a^x-a^{\sin x}=a^{\xi }\ln a(x-\sin x)\sim (x-\sin x)\ln a\sim \frac{\ln a}{6}{x}^3$$

$a^x-a^{are\sin x},a^x-a^{\tan x},a^x-a^{arc\tan x}$同理

推广结论 2：

$$\sin x-\sin (\sin x)=\frac{1}{6}(\sin x{)}^3+o(x^3)\sim \frac{1}{6}{x}^3$$

4. 已知极限求另一个极限

方法：若由已知一个极限求另一个极限，则在未知极限中凑出已知极限，并分离。

5. 导数定义求极限

方法：$\frac{f}{x}$型极限用导数定义式（更多细节可参考版块 4）

6. 拉格朗日求极限

方法：极限中出现$f(b)-f(a)$可用拉格朗日求解

7. 定积分定义求极限

公式：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a}{n}\sum _{i=1}^{n}f\left(\frac{ia}{n}\right)=\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$

8. 无穷泰勒法

当$x\to \infty$时，可将$\frac{1}{x}$视为整体，套用泰勒公式（一般低阶即可满足）。

$$e^{\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$$ $$\cos \frac{1}{x}=1-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$$ $$\sin \frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{6}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3});$$ $$\arcsin x=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3})$$ $$\tan \frac{1}{x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{3}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3});$$ $$\arctan x=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3})$$ $$\ln (1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})$$ $$\sqrt{1+\frac{1}{x}}=1+\frac{1}{2}\frac{1}{x}-\frac{1}{8}\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2});$$

【注意】不用特意记上面的公式，只需记住$t\to 0$时的秦勒公式，再将$t=\frac{1}{x}$带入即可

例题 1.$\underset{x\to +\infty }{\lim }[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\frac{\ln (e^x+x)}{x}].$

【解】$x\to +\infty$时，有$\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}=x[1+(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}){]}^{\frac{1}{3}}$

$$=x[1+\frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3})+o(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\left)\right]$$ $$=x+\frac{1}{3}+o(1)$$ $$\sqrt{x^2+x+1}=x+\frac{1}{2}+o(1),$$ $$\frac{\ln (e^x+x)}{x}=\frac{1}{x}\ln [e^x(1+x{e}^{-x})]$$ $$=1+\frac{1}{x}\ln (1+x{e}^{-x})=1+o\left(\frac{1}{x}\right).$$

（这是由于$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln (1+x{e}^{-x})=0$）

所以，原式

$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }[x+\frac{1}{3}+o(1)-(x+\frac{1}{2}+o(1))(1+o\left(\frac{1}{x}\right)]=-\frac{1}{6}$$

9. 求三角极限

1. 三角极限指含有$\tan (\sqrt{n^2+1}\pi ),\sin (\sqrt{n^2+1}\pi ),\cos (\frac{\pi }{2}+\sqrt{n^2+1}\pi )$的极限。

2. 这类极限主要特征是（1）含有三角函数且三角函数趋近 0（2）三角函数中的变量为无穷大

10. 求中值的极限

方法：求中值的极限$\underset{x\to 0}{\lim }\theta (x)$，一般用导数定义式。利用含$\theta (x)$的抽象函数构造导数定义式。

11. 关于局部优先求极限

笔记：对整个极限式的某一部分优先取极限要非常慎重。

如这里对$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}\right]}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{e}{e}{)}^n=1$这里对$\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}$进行了局部优先取极限得到$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}=\frac{e}{e}$

最后得出$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{e}{e}{)}^n=1$。这是错误的。为什么会错？

如果仅求极限$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{\text{e}}$则$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}=1$正确。但在本题中$\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}$只是表达式的一部分。

事实上，$n\to \infty ,\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}=1+o(1)$，而不是等于 1，取极限过程扔掉的无穷小项$o(1)$，不会影响$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}$的结果，但会影响$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left[\frac{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}{e}\right]}^n$的结果。如果不知道有什么影响怎么办？老老实实恒等变形。