版块 9 二次型（基础）

第 1 组: 实对称矩阵的性质

实对称矩阵

1. 不同特征值对应的特征向量相互正交

2. 一定可以对角化, 且对角阵的元素即为矩阵本身的特征值

3. 相似必合同

4. 若有$k$重特征值$\lambda$,则$\lambda$必有$k$个线性无关的特征向量

5. 非零特征值的个数等于秩

6. 二次型的矩阵必为实对称矩阵

7. 实对称矩阵必合同于实对称矩阵

第 2 组: 矩阵合同

合同：

1. 惯性定理: 对于任意二次型, 不论选取怎样的合同变换使它化为标准形,其正负惯性指数与所选变换无关

2. 正 (负)惯性指数: 标准形中正 (负)平方项的个数

3. 实对称阵$A,B$合同:

表达式:$C^{\mathrm{T}}AC=B$(其中 C 可逆)

等价于:$A,B$具有相同的正负惯性指数

4. 若$A,B$均为实对称, 且$A,B$相似, 则$A,B$必合同

5.$A,B$合同, 必有$A,B$的秩相等

6.$A$合同于单位阵, 则$A$正定

7.$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$,求$C$

特征值法:先求特征值再求特征向量,得出$P$矩阵, 最终得正交矩阵 C

配方法:配方得出可逆变换$x=Cy$, 矩阵$C$即为所求

B . 核心问题及解题方法总结

1. 正交变换将二次型化为标准形

正交变换

步骤: (1)求特征值;(2)求特征向量;(3)正交化单位化得到$Q$

结果:$x^{\mathrm{T}}Ax\stackrel{x=Qy}{\to }{y}^{\mathrm{T}}{Q}^{\mathrm{T}}AQy=y^{\mathrm{T}}\Lambda y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$

求正交矩阵的步骤：

1. 求出矩阵的全部特征值

2. 由求出每个特征值对应的特征向量

3. 用施密特正交法将特征向量正交化单位化

2. 可逆变换将二次型化为标准形 (配方)

（可逆变换包含正交变换）

可逆变换步骤: (1)配方 (2)得到变换关系$x=Cy$

结果:$x^{\mathrm{T}}Ax\stackrel{x=Qy}{\to }{y}^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}ACy=y^{\mathrm{T}}\Lambda y=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$

(1)配方法: 一次配方消除一个变量所有项, 后续配方时前一个变量不再存在。所以随着配方的进行, 变量越来越少，配方难度越来越低。

$$f=x^{\mathrm{T}}Ax=d_1(b_{11}{x}_1+...+b_{1n}{x}_n{)}^2+d_2(b_{22}{x}_2+...+b_{2n}{x}_n{)}^2+\cdots +d_n(b_{mn}{x}_n{)}^2$$ $$=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$$

则有

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ...\\ y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& ...& b_{1n}\\ 0& b_{22}& ...& b_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& ...& b_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ ...\\ x_n\end{array}\right)$$

记为$y=Bx$反解出$x=Cy$其中$C=B^{-1}$

所以令$x=Cy$,可得$f=x^{\mathrm{T}}Ax=y^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}ACy=y^{\mathrm{T}}\Lambda y$

(2)只有当$B$可逆时, 才有$x=Cy$(其中$C=B^{-1}$), 此时$x=Cy$才能成为可逆变换, 此时才不会改变标准形。

(3)如果写成矩阵形式:$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$。即配方法可求出可逆矩阵 C, 使得$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$

例题 1. 用配方法把二次型化为标准型, 并求所作变换:$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1{x}_2+4x_1{x}_3-x_2^2-8x_3^2$

【解】$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1{x}_2+4x_1{x}_3-x_2^2-8x_3^2;$

$$=-(x_2^2-2x_1{x}_2+x_1^2)+x_1^2+4x_1{x}_3-8x_3^2$$ $$=-(x_2-x_1{)}^2+(x_1+2x_3{)}^2-12x_3^2$$

令

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=-x_1+x_2\\ y_2=x_1+2x_3\\ y_3=x_3\end{array}$$ $$⟹\{\begin{array}{c}{x}_1=y_2-2y_3\\ x_2=y_1+y_2-2y_3\\ x_3=y_3\end{array}$$

由于

$$\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& 0& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\ne 0$$

所以上面交换为可逆变换. 得:$f(x_1,x_2,x_3)=-y_1^2+y_2^2-12y_3^2.$

例题 2. 设实对称矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 0& 2\\ 0& 2& 0\end{array}\right),$$

存在可逆矩阵 C，使得$C^{\mathrm{T}}AC=\Lambda$，则$C$可为

【解】矩阵$A$对应的二次型为

$$f\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3\end{array}\right)=x_1^2+4x_1{x}_2+4x_2{x}_3$$ $$=\left(x_1^2+4x_1{x}_2+4x_2^2\right)-4x_2^2+4x_2{x}_3$$ $$={\left(x_1+2x_2\right)}^2-{\left(2x_2-x_3\right)}^2+x_3^2$$

令

$$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+2x_2,\\ y_2=2x_2-x_3,\\ y_3=x_3,\end{array}$$

解得

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2-y_3,\\ x_2=\frac{1}{2}(y_2+y_3),\\ x_3=y_3,\end{array}$$

即

$$(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array})=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right),$$

故可取可逆矩阵

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

满足题意。注意本题答案不唯一。言之有理即可。

3. 矩阵三大关系的判别

（1）矩阵关系

1. A，B 等价：

表达式：$PAQ=B$，其中$P,Q$均为可逆矩阵

口诀：同型矩阵秩相等，则等价

关系：合同必等价，相似必等价

2. A，B 合同：

表达式：$C^{\mathrm{T}}AC=B$（其中$C$可逆）

口诀：具有相同的正负惯性指数，则合同

关系：合同必等价，相似不一定合同，实对称矩阵相似必合同

3. A，B 相似：

表达式：$P^{-1}AP=B$（其中$P$可逆）

口诀：实对称矩阵特征值相同，则相似

关系：相似必等价，相似不一定合同，实对称矩阵相似必合同

4. 相似要求最高，但相似不一定合同，只有实对称时才有相似必合同

（2）如何区分合同、相似、等价这一组晦涩的概念。

物种与物种之间、矩阵与矩阵之间都存在相近关系。相似、合同、等价是描述两矩阵相近程度的词。“等价”是最弱的关系，仅要求两矩阵的秩相等（好比柯基和柯基拥有相同的 39 对染色体）；“合同”是较强的关系，还要求柯基的性别相同（好比特征值正负的个数相同），“相似”是更强的关系，要求特征值完全相同（好比两只柯基一模一样）。