版块 8 相似理论

A .实用解题工具

第 1 组: 相似基本结论

1. 相似定义: 存在可逆矩阵$P$,使得$P^{-1}AP=B$, 则$A,B$相似

2.$A,B$相似必要条件

（1）$A,B\text{共用相同的特征值}$

（2）$\mid A\mid =\mid B\mid$

（3）$r(A)=r(B)$

（4）$\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=\sum _{i=1}^n{b}_{ii}$

3. 三组相似:$A^{\mathrm{T}}\sim B^{\mathrm{T}},A^{-1}\sim B^{-1},A^{\ast }\sim B^{\ast }$(一人相似, 全家相似)

$$P^{-1}AP=B,\text{求解}P\text{的步骤}\{\begin{array}{l}1.P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda \\ 2.P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda \\ 3.P=P_1{P}_2^{-1}(\text{原因:}{P}_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2\Rightarrow (P_1{P}_2^{-1}{)}^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}=B)\end{array}$$

5. 若均为实对称, 则$A,B$必合同

6. 更多相似:

$$\{\begin{array}{l}A\sim B,C\sim D,\text{则}\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& C\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cc}B& O\\ O& D\end{array}\right]\\ A\sim B,\text{则}f(A)\sim f(B),\left|\begin{array}{c}f(A)\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}f(B)\end{array}\right|(f(x)\text{是幂函数})\end{array}$$

B .核心问题及解题方法总结

1. 求解相似矩阵

重要结论：A，B 可对角化时，若$P^{-1}AP=B$，则$P=P_1{P}_2^{-1}$。其中$P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda ,P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda$

证明：

$P_1^{-1}A{P}_1=\Lambda ,P_2^{-1}B{P}_2=\Lambda .$由

$P_1^{-1}A{P}_1=P_2^{-1}B{P}_2,$得$P_2{P}_1^{-1}A{P}_1{P}_2^{-1}=B.$

令$P=P_1{P}_2^{-1}$，则有$P^{-1}AP=B$

2. 可对角化

1. 可对角化的条件

充分条件：A 有 n 个不同的特征值$\Rightarrow A\sim \Lambda$

充分条件：A 为实对称矩阵$\Rightarrow A\sim \Lambda$

充要条件$:A\sim \Lambda \iff A$有$n$个线性无关的特征向量

充要条件$:A\sim \Lambda \iff A$的$k$重特征值对应$k$个线性无关的特征向量

$A\sim \Lambda \iff A$对每个$k_i$重根特征值${\lambda }_i,$有$n-r({\lambda }_{i}E-A)=k_i$

【笔记】重根时可对角化的条件最常考。

2. 矩阵可对角化时, 非零特征值的个数 (重根算多个)=秩 (A)

3. 阿尔法矩阵 AP=PB

重要结论$:A{\alpha }_i$为阿尔法尔的线性组合, 则可通过阿尔法矩阵建立相似关系。

$$\begin{array}{rl}A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=& \left(\begin{array}{c}{c}_{11}{\alpha }_1+c_{21}{\alpha }_2+c_{31}{\alpha }_3,c_{12}{\alpha }_1+c_{22}{\alpha }_2+c_{32}{\alpha }_3,c_{13}{\alpha }_1+c_{23}{\alpha }_2+c_{33}{\alpha }_3\end{array}\right)\\ =& \left(\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right).\end{array}$$

记

$$P=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right)$$ $$\text{若}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\text{线性无关,则}A,B\text{ 相似}$$

例题 1. 设$A$是$n$阶矩阵,${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$是$n$维列向量, 且${\alpha }_n\ne 0$.若

$$A{\alpha }_1={\alpha }_2,A{\alpha }_2={\alpha }_3,\cdots ,A{\alpha }_{n-1}={\alpha }_n,A{\alpha }_n=0.$$

(1)证明:${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关;

(2)求$A$的特征值与特征向量.

(1)【证明】: 令$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$,则$x_{1}A{\alpha }_1+x_{2}A{\alpha }_2+\cdots +x_{n}A{\alpha }_n=0\Rightarrow x_1{\alpha }_2+x_2{\alpha }_3+\cdots +x_{n-1}{\alpha }_n=0$

$$x_{1}A{\alpha }_1+x_{2}A{\alpha }_3+\cdots +x_{n-1}A{\alpha }_n=0\Rightarrow x_1{\alpha }_3+x_2{\alpha }_4+\cdots +x_{n-2}{\alpha }_n=0$$ $$\cdots$$ $$x_1{\alpha }_n=0$$

因为${\alpha }_n\ne 0$,所以$x_1=0$,反推可得$x_2=\cdots =x_n=0$,所以${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关.

(2)【解】

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right].$$

令$P({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$

则

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right)=B\text{,则}A\text{与}B\text{相似,由}\left|\lambda E-B\right|=0\Rightarrow {\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n=0\text{,即}A\text{的}$$

特征值全为零, 又$r(A)=n-1$,所以$Ax=0$的基础解系只含有一个线性无关的解向量, 而$A{\alpha }_n=0{\alpha }_n\left({\alpha }_n\ne 0\right)$,所以$A$的全部特征向量为$k{\alpha }_n\left(k\ne 0\right)$.

4. Ak 矩阵化为相似

1.$A^k\alpha$可化为相似: 若$\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha$线性无关, 则关于$A^k\alpha$的矩阵

$$a\alpha +bA\alpha +c{A}^2\alpha =A^3\alpha \Rightarrow A(\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha )=(\alpha ,A\alpha ,A^2\alpha )\left(\begin{array}{ccc}0& 0& a\\ 1& 0& b\\ 0& 1& c\end{array}\right)$$

2. 特征向量与对角矩阵中特征值的位置关系

（1）利用$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)B$求解$A$的特征值. 与特征向量

（2）特征值与特征向量的次序对应关系:

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right),\text{记为}AP=P\Lambda$$

${\lambda }_i$在

$$\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$$

中处于第几列, 则${\lambda }_i$对应的特征向量在矩阵$P$中就处在第几列

例题 1. 设 A 为三阶矩阵, 且 A 有 3 个不同的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$,对应于${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$的特征向量分别为${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$,记$\beta =({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3).$

(1)证明:$\beta$不是 A 的特征向量;

(2)证明:$\beta ,A\beta ,A^2\beta$线性无关;

(3)如果$A^3\beta =A\beta$,计算行列式$\left|2A+3E\right|.$

【解】(1)用反证法设$\beta$是 A 的特征向量, 对应的特征值为$\lambda$,则$A\beta =\lambda \beta$,即

$$A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3=\lambda {\alpha }_1+\lambda {\alpha }_2+\lambda {\alpha }_3,$$

由已知条件知$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,A{\alpha }_3={\lambda }_3{\alpha }_3$,于是

$${\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+{\lambda }_3{\alpha }_3=\lambda {\alpha }_1+\lambda {\alpha }_2+\lambda {\alpha }_3,$$

即$({\lambda }_1-\lambda ){\alpha }_1+({\lambda }_2-\lambda ){\alpha }_2+({\lambda }_3-\lambda ){\alpha }_3=0$

由于${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关, 所以${\lambda }_1-\lambda ={\lambda }_2-\lambda ={\lambda }_3-\lambda =0$,则${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=\lambda$,与已知条件矛盾, 故$\beta$不是 A 的特征向量.

$$(2)\beta =({\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3),$$ $$A\beta =A{\alpha }_1+A{\alpha }_2+A{\alpha }_3={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+{\lambda }_3{\alpha }_3,$$ $$\begin{array}{rl}{A}^2\beta & ={\lambda }_{1}A{\alpha }_1+{\lambda }_{2}A{\alpha }_2+{\lambda }_{3}A{\alpha }_3={\lambda }_1^2\alpha \beta +{\lambda }_2^2{\alpha }_2+{\lambda }_3^2{\alpha }_3.\\ & \\ \text{因为}{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\text{线性无关,}(\beta ,A\beta ,A^2\beta )& =({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{ccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2\\ 1& {\lambda }_3& {\lambda }_3^2\end{array}\right].\end{array}$$ $$\text{且}\left|\begin{array}{ccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2\\ 1& {\lambda }_3& {\lambda }_3^2\end{array}\right|=({\lambda }_2-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_2)\ne 0\text{,所以}\beta ,A\beta ,A^2\beta \text{线性无关}.$$

(3)

$$A^3\beta ={\lambda }_1^{2}A{\alpha }_1+{\lambda }_2^{2}A{\alpha }_2+{\lambda }_3^{2}A{\alpha }_3={\lambda }_1^3{\alpha }_1+{\lambda }_2^3{\alpha }_2+{\lambda }_3^3{\alpha }_3,A^3\beta =A\beta ,$$

所以$({\lambda }_1^3-{\lambda }_1){\alpha }_1+({\lambda }_2^3-{\lambda }_2){\alpha }_2+({\lambda }_3^3-{\lambda }_3){\alpha }_3=0,$

由于${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关, 所以${\lambda }_i^3-{\lambda }_i=0(i=1,2,3)$,解得${\lambda }_i=0,-1,1$.从而$2A+3E$的特征值分别为 3,1,5, 故$|2A+3E|=3\cdot 1\cdot 5=15.$