版块 7 特征值与特征向量

A.实用解题工具

第 1 组：特征值与特征向量的性质

1. 特征值性质

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=tr\left(A\right)\\ {\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=\left|A\right|\end{array}$$

2. 特征向量的性质

(1)$A$的不同特征值对应的特征向量是线性无关的

(2)$k$重特征值对应线性无关的特征向量个数不超过$k$个

(3)特征向量线性组合

$$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2({\alpha }_1\ne 0,{\alpha }_2\ne 0)$$

则

${\lambda }_1={\lambda }_2$时,$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$是$A$的特征向量

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$时,$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$不是$A$的特征向量

3. 重要结论:

（1）实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。但反过来不成立。但实对称矩阵 A 不正交的特征向量一定属于同一个特征值。

（2）同一特征值对应的特征向量线性组合依然是特征向量：但不同特征值对应的特征向量线性组合后不再是特征向量。所以, 当两个特征向量的线性组合依然是特征向量时, 则这 3 个向量 (含线性组合的新向量) 必属于同一特征值。

第 2 组：多项式与相似变换

多项式与相似变换：

（$f(x)$是幂函数）

B. 核心问题及解题方法总结

1. 多项式方程确定的特征值

重要结论: 设$f(x)$为幂函数, 若$f(A)=0$,则矩阵$A$的特征值的所有可能取值为方程$f(\lambda )=0$的根。

说明：(1)$f(\lambda )=0$的根, 是特征值的所以可能取值, 并非一定全部取到。

比如$A^2-A=0$,则$f(\lambda )=0\Rightarrow \lambda =0$或 1。取单位矩阵$A=E$满足等式$A^2-A=0$,但显然$E$所有特征值均为 1, 没有 0

反证法。$f(A)=0$时, 假设存在特征值$k$使得$f(k)\ne 0$, 对应的特征向量为$\alpha$, 则有$f(A)=0\Rightarrow f(A)\alpha =0\cdot \alpha \Rightarrow f(k)\alpha =0$又因为特征向量为$\alpha$非零, 所以$f(k)=0$,这与原假设矛盾。故原假设 (存在特征值$k$使得$f(k)\ne 0$)不成立。

例题 1. 设 3 阶矩阵$A$的主对角线元素之和为 6, 且满足$A^2-A-2E=O$, 则矩阵$A$的三个特征值为

【解】设矩阵$A$的任意一特征值为$\lambda$,其对应的特征向量为$\alpha \left(\alpha \ne 0\right)$,而$A\alpha =\lambda \alpha$,且

$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha ,-A\alpha =-\lambda \alpha ,-2E\alpha =-2\alpha$$

上面各式相加, 得$\left(A^2-A-2E\right)\alpha =\left({\lambda }^2-\lambda -2\right)\alpha ,$

由$A^2-A-2E=0$,得$\left({\lambda }^2-\lambda -2\right)\alpha =0$,因为$\alpha \ne 0$,所以${\lambda }^2-\lambda -2=0$,解得矩阵特征值的所有可能取值为${\lambda }_1=-1$,${\lambda }_2=2$。根据矩阵的特征值的性质及已知条件, 有${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=a_{11}+a_{22}+a_{33}=6$, 故矩阵的三个特征值均为2。

2. 利用隐含的特征值

关于隐含特征值的重要结论:

(1)行列式

$$\{\begin{array}{l}|A|=0\Rightarrow \lambda =0\\ \left|A-kE\right|=0\Rightarrow \lambda =k\end{array}$$

(2)矩阵

$r(A)=k\Rightarrow \lambda =0$至少为 n-$k$重特征值

$A$不可逆$\Rightarrow \lambda =0$

(3)方程组

$$\{\begin{array}{l}Ax=0\Rightarrow \lambda =0\\ A\beta =k\beta \Rightarrow \lambda =k\end{array}$$

(4) 若

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3=$$ $$\left(\begin{array}{c}a{k}_1\\ a{k}_2\\ a{k}_3\end{array}\right)$$

,则矩阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$有特征值$a$,对应特征向量为$(k_1,k_2,k_3{)}^{\mathrm{T}}$。

(5)若方阵$A$的各行元素之和为$k$。则方阵$A$必有特征值$k$,对应特征向量$(1,1,...,1{)}^{\mathrm{T}}$

3. 特征向量与特征值次序

重要结论: 值量对应公式: 若${\xi }_k,{\xi }_m,{\xi }_n$分别为${\lambda }_k,{\lambda }_m,{\lambda }_n$对应的特征向量,则有

$$({\xi }_k,{\xi }_m,{\xi }_n{)}^{-1}A({\xi }_k,{\xi }_m,{\xi }_n)=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_k& & \\ & {\lambda }_m& \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

注意特征向量与特征值的对应次序。

例题 1. 已知${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1$为三阶矩阵$A$的 3 个特征值, 对应特征向量为

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3.令P=[\begin{array}{c}2{\alpha }_2,3{\alpha }_3,-{\alpha }_1\end{array}],\text{则}{P}^{-1}\left(\begin{array}{c}A+2E\end{array}\right)P=\left(\begin{array}{c}\end{array}\right).$$ $$(A)\left[\begin{array}{ccc}3& & \\ & 1& \\ & & 4\end{array}\right](B)\left[\begin{array}{ccc}4& & \\ & 3& \\ & & 1\end{array}\right](C)\left[\begin{array}{ccc}2& & \\ & 1& \\ & & -1\end{array}\right](D)\left[\begin{array}{ccc}1& & \\ & -1& \\ & & 2\end{array}\right].$$

【解】选 A。由 A 的特征值${\lambda }_2=1,{\lambda }_3=-1,{\lambda }_1=2,$得到$A+2E$的 3 个不同的特征值${\mu }_2=1+2=3,{\mu }_3=-1+2=1,{\mu }_1=2+2=4$,

因而$A+2E$可相似对角化, 且

$$P^{-1}\left(A+2E\right)P=\left[\begin{array}{ccc}3& & \\ & 1& \\ & & 4\end{array}\right].$$

选 A

4. 利用方程拼凑出特征定义式

方法: 利用题干提供的向量凑出$A\alpha =\lambda \alpha$直接看出特征值与特征向量的定义

或者凑出

$$\{\begin{array}{l}A\alpha =k\beta \\ A\beta =l\alpha \end{array}$$

再线性组合

$$\{\begin{array}{l}A(\alpha +c_1\beta )={\lambda }_1(\alpha +c_1\beta )\\ A(\alpha +c_2\beta )={\lambda }_2(\alpha +c_2\beta )\end{array}$$

得出特征值与特征向量

5. 利用特征反求矩阵 A

方法:$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=({\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,{\lambda }_3{\alpha }_3)$,则有$A=P\Lambda P^{-1}$,其中

$$\Lambda$$ $$=(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array})$$

，$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$（可逆）若将${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$正交化单位化得到正交矩阵$Q$,则有$A=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}$