版块 5 方程组理论的运用

A.实用解题工具

第 1 组: 线性无关解的个数

线性无关解的个数

$Ax=0:$最多$n-r(A)$个

$Ax=\beta :$最多$n-r(A)+1$个

重要结论: 齐次方程线性无关解的个数最多$n-r(A)$;非齐次方程线性无关解的个数最多$n-r(A)+1$

第 2 组:$AB=C$的含义

重要结论:

(1), 若$AB=C$则$A$的列向量组可线性表示$AB$(即 C) 的列向量组

(2). 若$BA=C$则$A$的行向量组可线性表示$BA$(即 C)的行向量组

证明:

(1)证明: 将$A$,$C$按列分块,$A=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n),C=({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n)$,由于$AB=C$,故

$$({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right]=\left({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n\right),$$

即${\gamma }_1=b_{11}{\alpha }_1+\cdots +b_{n1}{\alpha }_n,\cdots ,{\gamma }_n=b_{1n}{\alpha }_1+\cdots +b_{mn}{\alpha }_n,$

故${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$可线性表示${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n$

(2)将方程$BA=C$转置可得$A^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}$

将$A^{\mathrm{T}},C^{\mathrm{T}}$按列分块,$A^{\mathrm{T}}=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n),C^{\mathrm{T}}=\left({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n\right),$由于$A^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}},$故

$$({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \cdots & b_{n1}\\ ⋮& & ⋮\\ b_{1n}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right]=({\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n),$$

即${\gamma }_1=b_{11}{\alpha }_1+\cdots +b_{1n}{\alpha }_n,\cdots ,{\gamma }_n=b_{n1}{\alpha }_1+\cdots +b_{mn}{\alpha }_n,$

故${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$可线性表示${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n$。故$A^{\mathrm{T}}$的列向量组可线性表示$C^{\mathrm{T}}$的列向量组。所以$A$的行向量组可线性表示$C$的行向量组。

B .核心问题及解题方法总结

1. 反求系数阵

重要结论: 若$Ax=0$有解${\eta }_1,{\eta }_2$,即$A({\eta }_1,{\eta }_2)=0$,则:

$$\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{\eta }_1^{\mathrm{T}}\\ {\eta }_2^{\mathrm{T}}\end{array}\right)A^{\mathrm{T}}=0\Rightarrow A^{\mathrm{T}}\text{的列向量为}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\eta }_1^{\mathrm{T}}}{{\eta }_2^{\mathrm{T}}}\right)x=0\text{的解}$$

例题 1. 要使

$${\epsilon }_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right],{\epsilon }_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

都是线性方程组$Ax=0$的解, 只要系数矩阵$A$为

( )

$$A.\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1-1& 1& \end{array}\right]B.\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -1-1& 2& \end{array}\right]$$ $$C.\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 1\end{array}\right]D.\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right]$$

【解】$A^{\mathrm{T}}$的列向量是$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\epsilon }_1^{\mathrm{T}}}{{\epsilon }_2^{\mathrm{T}}}\right)x=0$的解。其系数阵

$$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

所以$(1,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$为方程的解, 即$A^{\mathrm{T}}$的列向量均可表示为$k(1,1,-1{)}^{\mathrm{T}}$,$A$的行向量均可表示为$k(1,1,-1)$。故选 A.

本题还可将${\epsilon }_1,{\epsilon }_2$分别代入$Ax=0.$容易验证选项 A 正确.

2. 求解 AX=B

$AX=B$的求解

特殊: 若$A$是可逆方阵, 则$X=A^{-1}B$

普适：

$$A_{mn}(x_1,x_2,\cdots x_m)=({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots {\beta }_m)\Rightarrow$$ $$\begin{array}{rl}A{x}_1& ={\beta }_1\\ A{x}_2& ={\beta }_2\\ & \cdots \\ A{x}_n& ={\beta }_m\end{array}$$

增广矩阵$(A⋮B)$批量求解$A{x}_i={\beta }_i,$进而得$X=(x_1,x_2,...x_n)$

3. 同解方程组

1.$Ax=0$与$Bx=0$同解, 则矩阵$A,B$行向量组等价

2. 重要的同解方程组: $A^{\mathrm{T}}Ax=0$与$Ax=0$同解方程组, 此时有$r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)$

重要结论:

(1)齐次方程组同解的充要条件为系数阵行向量组等价

(2)非齐次方程组同解的充要条件为增广矩阵行向量组等价

如何理解 (1)(2)？

求$Ax=0$的通解时, 将系数矩阵$A$进行初等行变换得到最简行阶梯矩阵$A_1$.此时得到与$A\mathrm{x}=0$的同解方程组$A_{1}x=0$.由于$A_1$是由$A$初等行变换得到, 所以$A$与$A_1$行向量组等价。由此可理解结论 (1)。同理可理解结论 (2)

如何理解 (3)？

$Ax=0$与$A^{\mathrm{T}}Ax=0$同解。所以系数阵$A^{\mathrm{T}}A,A$行向量组等价。同理可理解$A{A}^{\mathrm{T}},A^{\mathrm{T}}$行向量组等价。

例题 1. 设$A,B$均为$n$阶矩阵, 如果方程组$A\mathrm{x}=0$与$B\mathrm{x}=0$同解,则 ( )

$$\begin{array}{rl}& \text{(A)方程组}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ E& B\end{array}\right)y=0\text{ 只有零解}\\ & \text{(B)方程组}\left(\begin{array}{cc}E& A\\ O& AB\end{array}\right)y=0\text{ 只有零解}\\ & \text{(C)方程组}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& B\end{array}\right)y=0\text{与}\left(\begin{array}{cc}B& A\\ O& A\end{array}\right)y=0\text{同解}\\ & \text{(D)方程组}\left(\begin{array}{cc}AB& B\\ O& A\end{array}\right)y=0\text{与}\left(\begin{array}{cc}BA& A\\ O& B\end{array}\right)y=0\text{同解}\end{array}$$

【解】选 C。方程组$Ax=0$与$Bx=0$同解, 意味着对应系数阵行等价, 所以矩阵 A 可经过行变换化为 B, 矩阵 B 也可经过行变换化为 A.

$$\begin{array}{rl}& \text{对于 C 选项: 矩阵}\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& B\end{array}\right)\text{可经过行变换化为}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\text{, 进一步行变换可化为}\left(\begin{array}{cc}B& O\\ O& A\end{array}\right),\text{ 再进一步行变}\\ & \text{换可化为}\left(\begin{array}{cc}B& A\\ O& A\end{array}\right)\text{, 即选项 C 正确}\end{array}$$