版块 4 方程组的解

A .实用解题工具

第 1 组: 齐次方程的解的条件

$Ax=0$的解等价条件:

仅有零解$\iff$

矩阵:$r(A)=n.$

矩阵:$A$可逆$(A$为方阵)

行列式:$|A|\ne 0$($A$为方阵)

向量组:$A$的列 (或行)向量组线性无关

特征值: 0 不为矩阵$A$的特征值

有非零解$\iff$

矩阵:$r(A)<n$

矩阵:$A$不可逆$(A$为方阵)

行列式:$|A|=0$($A$为方阵)

向量组$:A$的列 (或行)向量组线性相关

特征值: 0为矩阵$A$的特征值

第 2 组: 非齐次方程的解的条件

$$Ax=\beta \text{ 的解分三种情况：}\{\begin{array}{ll}r(A)\ne r(A,\beta )& ⟹\text{无解},\\ r(A)=r(A,\beta )=n& ⟹\text{有唯一解},\\ r(A)=r(A,\beta )<n& ⟹\text{有无穷多解}.\end{array}$$

第 3 组: 求齐次方程的几种解法

$Ax=0$的解

1. 初等行变换法: 通过初等行变换, 找出最简同解方程组, 进而求解

2. 特征向量法: 矩阵$A$的特征值 0 对应的特征向量为方程$Ax=0$的解

3. 线性相关法: 如${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3=0\Rightarrow (1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$为方程$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)x=0$的解

4. 特解构造法$:{\gamma }_1,{\gamma }_2,...,{\gamma }_n$是$Ax=\beta$的解, 则$\sum _{i=1}^n{k}_i=0$时,$\gamma =\sum _{i=1}^n{k}_i{\gamma }_i$为$Ax=0$的解

第 4 组: 构造方程的解

构造方程组新解的方法:

设${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$是非齐次线性方程组$Ax=\beta$的一组解,

1. 若$k_1+k_2+\cdots +k_s=1$,则$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s$是非齐次线性方程组$Ax=\beta$的解

2. 若$k_1+k_2+\cdots +k_s=0$,则$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s$是齐次线性方程组$Ax=0$的解

B. 核心问题及解题方法总结

1. 利用基础解系的条件求解

基础解系三大条件

个数:$n-r(A)$

非零解

线性无关

注意, 与基础解系等价的向量组不一定是基础解系

2. 求${\mathrm{A}}^{\ast }\mathrm{x}=0$的解

1.$A^{\ast }x=0$方程组$:A$的列向量全为$A^{\ast }x=0$的解 (此类题必有$|A|=0)$

2. 伴随阵的秩

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$$

3. 利用 AB=0

$AB=O$的含义

1 矩阵:$r(A)+r(B)\le n$;若$A,B$均非零矩阵, 则$A,B$均不可逆

2 行列式: 若$A,B$均非零矩阵,方阵$A$的行列式$|A|=0$

3 方程组: B 的列向量是方程组$Ax=0$的解

4 向量组: 若$A,B$均非零矩阵,$A$的列向量组、$B$的行向量组线性相关

5 特征值:$A$存在特征值$\lambda =0$,且若$r(B)=k$,则$\lambda =0$至少为$k$重根

4. 利用克拉默法则求非齐次方程

克拉默法则:

线性方程组

$$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1$$ $$a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2$$ $$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$$ $$a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n$$

如果系数行列式$D=|A|\ne 0,$则$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}$

其中$D_i$是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式

5. 求抽象非齐次的通解

方法: 求出对应齐次的基础解系, 并求非齐次一个特解。

例题 1. 已知$A=\left[a_1,a_2,a_3,a_4\right]$是四阶矩阵,$a_1,a_2,a_3,a_4$是四维列向量。若方程组$Ax=\beta$的通解是${\left[1,2,2,1\right]}^{\mathrm{T}}+k{\left[1,-2,4,0\right]}^{\mathrm{T}},$又$B=\left[a_3,a_2,a_1,\beta -a_4\right]$, 求方程组$Bx=a_1-a_2$的通解。

【解】由方程组$Ax=\beta$的解的结构, 可知$r(A)$=$r(a_1,a_2,a_3,a_4)$=3 , 且$a_1+2a_2+2a_3+a_4=\beta ,a_1-2a_2+4a_3=0$,故$a_1,a_2,a_3$线性相关。

因为

$$B=\left[\begin{array}{c}{a}_3,a_2,a_1,\beta -a_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_3,a_2,a_1,a_1+2a_2+2a_3\end{array}\right],$$

且$a_1,a_2,a_3$线性相关, 故秩$(B)=2$,所以$Bx=0$的基础解系只含$n$-秩$(B)=4-2=2$个解向量。

$$\begin{array}{rl}& \text{由}B\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_3,a_2,a_1,\beta -a_4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]=a_1-a_2\text{ 知, }{\left[\begin{array}{c}0,-1,1,0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}\text{是方程组 Bx}=a_1-a_2\text{ 的一个解。}\\ & \\ & \text{又由}B\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_3,a_2,a_1,a_1+2a_2+2a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]=4a_3-2a_2+a_1=0,\end{array}$$ $$B\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_3,a_2,a_1,a_1+2a_2+2a_3\end{array}\right][\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\\ -1\end{array}]=0,$$

可知${\left[4,-2,1,0\right]}^{\mathrm{T}}$,${\left[2,2,1,-1\right]}^{\mathrm{T}}$是$Bx=0$的两个线性无关的解, 故$Bx=a_1-a_2$的通解为

$${\left[\begin{array}{c}0,-1,1,0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}+k_1{\left[\begin{array}{c}4,-2,1,0\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}+k_2{\left[\begin{array}{c}2,2,1,-1\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}。$$

其中$k_1,k_2$为任意常数。