版块 2 几类特殊矩阵

A.实用解题工具

第 1 组:$A_{ii}=a_{ij}$

重要结论: 若 3 阶非零矩阵满足$a_{ij}=A_{ij}$,则必有：

矩阵$r(A)=r(A^{\ast }=3)$

行列式$|A|=1$

$A$为正交矩阵

【说明】:$a_{ij}=A_{ij}$等价于$A^{\mathrm{T}}=A^{\ast }$,这是同一个关系的两种不同的写法。

$A_{ij}$有两个条件反射: (1) 行列式 (展开定理有含$A_{ij}$) (2) 伴随矩阵 (伴随矩阵的元素为$A_{ji}$)

重要结论: 若 3 阶非零矩阵满足$a_{ij}+k{A}_{ij}=0$,则必有：

矩阵满秩$r(A)=r(A^{\ast })=3$

行列式$|A|=-\frac{1}{k^3}\ne 0$

$k^2=1$时,$A$为正交矩阵

重要结论：若矩阵 A 的特征值含 0, 则矩阵 A 必不可逆; 若矩阵 A 的特征值不含 0, 则矩阵 A 必可逆。

第 2 组：abb 矩阵

定义：abb 矩阵为主对角线全为 a，其他元素全为 b 的矩阵

1. 重要结论：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& b\\ b& a& b\\ b& b& a\end{array}\right)$$

的特征值为$a+2b$，$a-b$，$a-b$

对应的特征向量为

$${\alpha }_1=(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$

也可取正交组，对应的特征向量为

$${\alpha }_1=(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

2. 推广：n 阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & b\\ b& a& \cdots & b\\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ b& b& \cdots & a\end{array}\right)$$

的特征值为$a+(n-1)b,a-b,\cdots ,a-b.$(n-1 个 a-b)

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ \cdots \\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ \cdots \\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\\ \cdots \\ \cdots \\ 1\end{array}\right),\cdots ,{\alpha }_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \cdots \\ -1\\ 1\end{array}\right)$$

3. 助记:$a+2b$是各行元素之和。所以对应特征向量$(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}.$

$a-b$是因为$a=b$时秩为 1. 此时特征值 2 个 0。但别记成了$b-a$。

$a-b$是主对角线上的元素, 可记成主对角线减其他。或取 b=0 验证。

记住$a-b$对应的特征向量与$(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$正交。满足正交的其他取法也可以。

B .核心问题及解题方法总结

1. 初等矩阵

1.基本初等矩阵的定义：

$E_{ij}$：交换$E$第$i$行与第$j$行（或交换第$i$列与第$j$列）所得的初等矩阵

$E_i(k),(k\ne 0)$：E 的第$i$行（或第$i$列）乘以非零常数所得的初等矩阵

$E_{ij}(k)$:$E$的第$i$行的$k$倍加到第$j$行所得的初等矩阵

				$E$的第$j$列的$k$倍加到第$i$列所得的初等矩阵

2.逆矩阵：$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$;$E_i^{-1}(k)=E_i(\frac{1}{k})$;$E_{ij}^{-1}\left(k\right)=E_{ij}\left(-k\right)$

3.行列式：$\left|E_{ij}\right|=-1;\left|E_i\left(k\right)\right|=k\left(k\ne 0\right);\left|E_{ij}\left(k\right)\right|=1$

2. 伴随矩阵

1. 黄金公式：

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|E$$

2. 表达式：

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)=(A_{ji})=(A_{ij}{)}^{\mathrm{T}}$$

3. 伴随阵的秩

$$r(A^{\ast })=$$ $$\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n\\ 1,& r(A)=n-1\\ 0,& r(A)<n-1\end{array}$$

4.$A^{\ast }x=0$方程组：$A$的列向量全为$A^{\ast }x=0$的解 (此类题必有$|A|=0)$

5. 伴随阵的三大运算

伴随阵:$(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }(n\ge 2);(A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid A{\mid }^{n-2}A(n\ge 3);(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

伴随阵的逆阵：$(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }=\frac{1}{|A|}A$($A$可逆)

伴随矩阵的转置：$(A^{\ast }{)}^{\mathrm{T}}=(A^{\mathrm{T}}{)}^{\ast }$

例题 1. 设$A,B$为$n$阶矩阵,$A^{\ast },B^{\ast }$分别为$A,B$对应的伴随矩阵,分块矩阵

$$C=\left[\begin{array}{ccc}A& & O\\ O& & B\end{array}\right]$$

,则$C$的伴随矩阵$C^{\ast }=$

【解】由于对任何$n$阶矩阵$A,B$关系式都要成立, 那么$A,B$可逆时关系式仍应当成立, 故可加强条件来看$A,B$都可逆时应成立的关系式.

由

$$C^{\ast }=\mid C\mid C^{-1}=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|{\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}$$ $$=\mid A\mid \mid B\mid \left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]$$ $$=\left[\begin{array}{cc}\mid A\parallel B\mid A^{-1}& O\\ O& \mid A\parallel B\mid B^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\mid B\mid A^{\ast }& O\\ O& \mid A\mid B^{\ast }\end{array}\right]$$

3. 列行矩阵

1. 定义: 秩为 1 的矩阵$A,$可化为$A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$,其中$\alpha ,\beta$均为列向量

2. 特征值$:\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta ={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$与$n$-1个0

3. 特征向量:$\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta$对应的特征向量可取$\alpha$

$\lambda =0$对应的特征向量可取${\beta }^{\mathrm{T}}x=0$基础解系

4. 对角化:

若$\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta ={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha \ne 0,$则矩阵$A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$可对角化

若$\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta ={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha =0$,则矩阵$A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$不可对角化

5. 方程组$:Ax=0$与${\beta }^{\mathrm{T}}x=0$同解

6.$A^n$次方:$A^n={\lambda }^{n-1}A$

对角化证明如下: (1)若$\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta \ne 0$

先求${\lambda }_1={\lambda }_2=...={\lambda }_{n-1}=0$时的特征向量。$r(A)=r(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})=1$,故$(A-0E)x=0$也就是$Ax=0$,有$n-1$个线性无关的解, 也就是$n-1$个无关的特征向量。

如果此时$\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta \ne 0$,$\lambda$对应的特征向量必与 0 对应的特征向量线性无关。

所以,$\lambda ={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta \ne 0$时, 矩阵$A$共有$n$的线性无关的特征向量, 必可对角化。

如果$\lambda ={\alpha }^{\tau }\beta =0$

此时, 矩阵$A$的所有特征值为 0, 矩阵$A$的全部特征向量均由$(A-0E)x=0$方程求出。易知,$(A-0E)x=0$仅可求出$n-1$个线性无关的特征向量。故矩阵$A$不能对角化。

4. 正交矩阵

1. 定义$:A{A}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}A=E,$则$A$为正交矩阵

2. 重要性质

(1)$A^{-1}=A^{\mathrm{T}}$

(2)$|A{|}^2=1$

(3)$A$的列 (或行) 是两两垂直的单位向量