版块 8 定积分特性

A.实用解题工具

第 1 组: 变限积分

1. 原始.$({\int }_{\psi (x)}^{\varphi (x)}f(t)dt{)}_x^{{}^{\prime }}=f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)-f[\psi (x)]\cdot {\psi }^{\prime }(x)$

2. 被积函数需要化为纯$t$

$${\int }_0^{x}f(x-t)dt={\int }_0^{x}f(u)du$$ $${\int }_0^x(x-t)f(t)dt=x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt$$ $${\int }_0^{x}tf(x-t)dt=x{\int }_0^{x}f(u)du-{\int }_0^{x}uf(u)du$$ $${\int }_0^{1}f(xt)dt=\frac{{\int }_0^{x}f(u)du}{x}(x\ne 0)$$

3. 伪定积分暴力求导${\left({\int }_a^{b}f\left(x,t\right)dt\right)}^{\prime }={\int }_a^b\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}dt$

4. 掌握定理证明: 设$f(x)$在$[a,b]$上连续, 令$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt$,则${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$

【证明】$△\Phi =\Phi (x+△x)-\Phi (x)={\int }_a^{x+△x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_x^{x+△x}f(t)dt=f(\xi )\Delta x$。其中,$\xi$介于$x$与$x+\Delta x$之间。所以$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta \Phi }{△x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\xi )△x}{△x}=f(x)$

第 2 组: 定积分简化公式

1. 定积分简化:

奇偶性简化 :

$${\int }_{-t}^{t}f(x)dx={\int }_0^t[f(x)+f(-x)]dx=\{\begin{array}{ll}0,\text{当}f(x)\text{为奇函数}& \\ 2{\int }_0^{t}f(x)dx.\text{当}f(x)\text{为偶函数}& \end{array}$$

2. 周期性简化:${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx$

代数证明:$F(a)={\int }_a^{a+T}f(x)dx,F^{\prime }(a)=f(a+T)-f(a)=0$故$F(a)$为常数。所以$F(a)=F(0)$,命题得证。

几何说明: 如图 a 所示.$S_1={\int }_0^{a}f(x)dx,S_2={\int }_a^{\mathrm{T}}f(x)dx,S_3={\int }_T^{a+T}f(x)dx$, 右图可知无论$a$值取多少，均有$S_1=S_3$。所以${\int }_a^{a+I}f(x)dx=S_2+S_3=S_1+S_2={\int }_0^{T}f(x)dx$

3. 几何意义简化:${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{4}\pi a^2$,见图 b.

4. 对称轴简化:${\int }_a^{b}f(x)dx=2{\int }_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx$其中$f(x)$关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称。

几何说明: 如图 c 所示,$S_1={\int }_a^{\frac{a+b}{2}}f(x)dx,S_2={\int }_{\frac{a+b}{2}}^{b}f(x)dx$,由$f(x)dx$,由$f(x)$关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称, 可知$S_1=S_2$

示例：${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx=2$

第 3 组: 周期函数定积分

1. 积分起点任意：

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)dx.\text{其中}f(x+T)=f(x)$$

示例：

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$$

2. 原函数性质: 周期函数的变上限函数, 不一定是周期函数, 但周期的变上限函数一定可分解为周期函数与一次函数之和。即${\int }_0^{x}f(t)dt=\phi (x)+kx$,其中$f(x),\phi (x)$为同周期的周期函数,$k=\frac{{\int }_0^{\mathrm{T}}f(x)dx}{T}$

示例:${\int }_0^x|sint|dt=\frac{2}{\pi }x+\phi (x)$,可证$\phi (x+\pi )=\phi (x)$

3. 若$f(x+T)=f(x)$,则有${\int }_0^{nT}f(x)dx=n{\int }_0^{\mathrm{T}}f(x)dx$

示例:${\int }_0^{n\pi }|\cos t|dt=n{\int }_0^{\pi }|\cos t|dt=2n$

4.$f(x+T)=f(x),f(-x)=f(x)$,则有${\int }_0^{nT}xf(x)dx=\frac{n^{2}T}{2}{\int }_0^{\mathrm{T}}f(x)dx$

示例:${\int }_0^{nT}x|\sin x|dx=n^2\pi$

可以不用记住这个公式本身, 但是要这个公式的推导方法: 作代换$t=nT-x$后利用区间再现

第 4 组: 三角函数定积分

1. 正弦简化:

${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$.

示例:${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\pi$

2. 互为余角$:{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx$.

示例:${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}xdx=\frac{\pi }{4}$

3. 华里士公式:

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx\{\begin{array}{l}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},\text{当}n\text{为偶数}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdot \cdot \frac{2}{3}\cdot 1,\text{当}n\text{为奇数}\end{array}$$

4. 对称性$:{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx.$

5. 周期性+对称性:${\int }_0^{2\pi }f(\left|\sin x\right|)dx=2{\int }_0^{\pi }f(\left|\sin x\right|)dx=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\left|\sin x\right|)dx.$

第5组：积分中值

1. 积分中值定理:${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)($要求$:f$连续)

【说明】$\xi \in [a,b]$或$\xi \in (a,b)$均正确.

1. 函数平均值:$\overline{f}=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}$

2. 推广的积分中值定理: 如果函数$f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续, 且$g(x)$在$[a,b]$上不变号, 则在区间$[a,b]$上, 至少存在一点$\xi$, 使得 :${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$。

3. 示例 :$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^{n}f(x)dx=0($其中$f(x)$连续)

推广的积分中值定理的证明也可能成为命题人考察的点, 需要掌握。

例题 1. 设函数$f(x)$在$[a,b]$上连续,$g(x)$在$[a,b]$可积且不变号, 证明至少存在一点$\xi \in [a,b]$,使${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$

【证】 不妨设在$[a,b]$上$g(x)\ge 0.$因为$f(x)$在$[a,b]$上连续, 由最值定理知,$f(x)$在$[a,b]$上有最大值$M$,最小值$m$,即

$$m\le f(x)\le M\Rightarrow mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$$

$\Rightarrow {\int }_a^{b}mg(x)dx\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\le {\int }_a^{b}Mg(x)dx$ $(\ast )$

若${\int }_a^{b}g(x)dx>0$,则$m\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}\le M$.由介值定理知,$\exists \xi \in [a,b]$,使得

$$\frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx}{{\int }_a^{b}g(x)dx}=f(\xi )\text{即}{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx$$

若${\int }_a^{b}g(x)dx=0$由$(\ast )$式知${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$,则对

$$\forall \xi \in \left[\begin{array}{c}a,b\end{array}\right]$$

,都有

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx.$$

【说明】当$g(x)\equiv 1$时, 就是通常的积分中值定理:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

第 6 组: 反常积分之和的敛散性

(1)若反常积分${\int }_a^{b}f(x)dx$在区间$[a,b]$中间有暇点$x=c$, 则需将其拆分

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

(2)若将反常积分拆分, 则有以下结论:

$${\int }_a^{b}f(x)dx\text{收敛}\iff {\int }_a^{c}f(x)dx,{\int }_c^{b}f(x)dx\text{均收敛}$$ $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx\text{收敛}\iff {\int }_{-\infty }^{a}f(x)dx,{\int }_a^{+\infty }f(x)dx\text{均收敛}$$

所以, 反常积分

$$\{\begin{array}{l}\text{发散+收敛,一定发散}\\ \\ \text{收敛+收敛,一定收敛}\\ \\ \text{发散+发散,一定发散}\end{array}$$

若反常积分收敛, 则要求其子积分全收敛, 否则发散。

B. 核心问题及解题方法总结

1. 积分嵌套

$1.\text{一元}:f(x)=g(x)+{\int }_a^{b}f(x)dx$, 令$A={\int }_a^{b}f(x)dx$,进而有$A={\int }_a^b(g(x)+A)dx$

$2.\text{二元}:f(x,y)=g(x,y)+\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ,\dot{令}A=\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ,$进而有$A=\underset{D}{\iint }(g(x,y)+A)d\sigma$

【注意】1.$f(x)=g(x)+{\int }_a^{x}f(t)dt$时不能用上面的方法, 因为此时${\int }_a^{x}f(t)dt$不是常数, 而是$x$的函数

2.$\underset{D}{\iint }f(u,v)d\sigma$的结果与函数$f(x,y)$的变量有关时, 也不能用上面的方法。

2. 区间再现

1. 基本理论$:{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$

示例 1:${\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx$

示例 2:${\int }_{-\frac{\pi }{n}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{4}x}{1+e^x}dx=\frac{3\pi }{16}$