版块 7 积分方法

A.实用解题工具

第 1 组：凑微分公式

(1)$\int f\left(a{x}^n+b\right)x^{n-1}dx=\frac{1}{na}\int f\left(a{x}^n+b\right)d\left(a{x}^n+b\right)(n\ne 0).$

(2)$\int f\left(\frac{1}{x}\right)\frac{1}{x^2}dx=-\int f\left(\frac{1}{x}\right)d\left(\frac{1}{x}\right).$

(3)$\int \frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx=2\int f\left(\sqrt{x}\right)d\left(\sqrt{x}\right).$

(4)$\int f\left(e^x\right)e^{x}dx=\int f\left(e^x\right)d\left(e^x\right).$

(5)$\int f(x\ln x)(1+\ln x)dx=\int f(x\ln x)d(x\ln x)$

(6)$\int f\left(\cos x\right)\sin xdx=-\int f\left(\cos x\right)d\left(\cos x\right).$

(7)$\int f(\sin x)\cos xdx=\int f\left(\sin x\right)d\left(\sin x\right)$

(8)$\int f(\tan x){\sec }^{2}xdx=\int f(\tan x)d\left(\tan x\right).$

(9)$\int f(\cot x){\csc }^{2}xdx=-\int f(\cot x)d\left(\cot x\right).$

(10)$\int \frac{f\left(\arcsin x\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f\left(\arcsin x\right)d\left(\arcsin x\right).$

(11)$\int \frac{f\left(\arctan x\right)}{1+x^2}dx=\int f\left(\arctan x\right)d\left(\arctan x\right).$

(12)$\int (1+\ln x)dx=\int d(x\ln x).$

(13)$\int \frac{1-\ln x}{x^2}dx=\int d(\frac{\ln x}{x}).$

第 2 组：正割函数积分

这是基本工具，解题很有用，一定要牢记。

$$1.\int \sec \theta \tan \theta d\theta =\sec \theta +c$$ $$2.\int {\sec }^2\theta d\theta =\tan \theta +c$$ $$3.\int \sec \theta d\theta =\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+c$$ $$=\int \frac{\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta )}{\tan \theta +\sec \theta }d\theta$$ $$4.{\sec }^3\theta d\theta =\int \sec \theta d\tan \theta =\sec \theta \cdot \tan \theta -\int \tan \theta \sec \theta \tan \theta d\theta$$ $$=\sec \theta \cdot \tan \theta -\int {\sec }^3\theta d\theta +\int \sec \theta d\theta$$ $$=\sec \theta \cdot \tan \theta -\int {\sec }^3\theta d\theta +\ln \left|\sec \theta +\tan \theta \right|+c_1$$

所以$\int {\sec }^3\theta d\theta =\frac{1}{2}(\sec \theta \cdot \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+c$

第 3 组：三角积分公式

1. 三角积分基础

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C;\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$$ $$\int \frac{1}{\cos x}dx=\int \sec xdx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C;\int \csc xdx=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C$$ $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C;\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$$ $$\int \tan xdx=-\ln \left|\cos x\right|+C;\int \cot xdx=\ln \left|\sin x\right|+C$$

2. 高次幂的两种处理方法

偶数次, 降幂:$\int {\sin }^{4}xdx=\frac{1}{8}\int (3-4\cos 2x+\cos 4x)dx$

奇数次, 凑微分:$\int {\sin }^{3}xdx=-\int (1-{\cos }^{2}x{)}^{2}dcosx$

3. 积化和差的情况

积分$\int \sin mx\cos nxdx,\int \sin mx\sin nxdx,\int \cos mx\cos ndx$可先用积化和差公式化简

4. 分母为三角函数之和、差时, 可先用和差化积公式, 将分母化简。

5.$\int \frac{dx}{{\sin }^{m}x{\cos }^{n}x}(m,n$为正整数) , 常将用恒等变形${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$将分子拆分

6. 若被积函数$R(\sin x,\cos x)$是$\cos x$的奇函数, 即$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$。可令$t=\sin x$。则$\int R(\sin x,\cos x)dx$可化为关于$t$的有理函数积分。

示例:$\int \frac{\tan x{\cos }^{6}x}{{\sin }^{4}x}dx=\int \frac{(1-t^2{)}^2}{t^3}dt$。

7. 若被积函数$R(\sin x,\cos x)$是的$\sin x$奇函数, 即$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$。可令$t=\cos x$。则$\int R(\sin x,\cos x)dx$可化为关于$t$的有理函数积分。

8. 若被积函数满足$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$。可令$t=\tan x$。则$\int R(\sin x,\cos x)dx$可化为关于$t$的有理函数积分。

示例:$\int \frac{dx}{2-{\sin }^{2}x}=\int \frac{dt}{2+t^2}$

B . 核心问题及解题方法总结

1. 利用分部积分求解的几种情况

1. 分部积分公式:$\int udv=uv-\int vdu$

2. 分部积分的几种情况

(1) 对变限积分函数再积分, 用分部积分

(2) 对形如$x{f}^{\prime }$的函数积分, 用分部积分

(3) 对含对数或反三角的函数积分, 用分部积分 (例：$\int x\ln xdx$；$\int \arctan xdx$)

(4) 对形如$x{e}^x,x\sin x,x\cos x$的函数积分, 用分部积分

3. 从分部积分公式$\int udv=uv-\int vdu$可知, 分部积分可实现被积函数的新旧替换。原来是$\int udv$,分部积分后变成$\int vdu$。所以, 被积函数有新旧交换的场合, 通常使用分部积分实现。

2. 利用三角代换求解

三角代换适用于被积函数含根式且带平方项的情形。有以下三种情况。

1. 被积函数中出现$\sqrt{a^2-x^2}$, 用代换$x=a\sin t$, 此时有$\sin t=\frac{x}{a},\cos t=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$

2. 被积函数中出现$\sqrt{a^2+x^2}$, 用代换$x=a\tan t$, 此时有$\sin t=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}},\cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}$

3. 被积函数中出现$\sqrt{x^2-a^2}$,用代换$x=a\sec t$, 此时有$\sin t=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x},\cos t=\frac{a}{x}$

3. 利用根式代换求解

1. 根式代换适用于被积函数中含根式且无平方项的情形。

示例：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int \frac{2dt}{t^2-1}=2\ln (\sqrt{1+e^x}-1)-x+c$$

2. 如果同时出现$\sqrt[m]{x},\sqrt[n]{x}$,则用代换$t=\sqrt[k]{x}$,其中$k$是$m,n$的最小公倍数。

示例: 如果同时出现$\sqrt{x},\sqrt[3]{x}$,则令$t=\sqrt[6]{x}$

4. 利用倒代换求解

倒代换$x=\frac{1}{t}$适用于被积函数中分母分子的阶次差 2 阶及以上的情形。

示例：

$$\int \frac{dx}{x(1+x^2)}=\int \frac{-tdt}{t^2+1}=-\frac{1}{2}\ln (1+\frac{1}{x^2})+c$$

5. 利用万能代换求解三角函数积分

三角函数有理式的积分, 一般可用万能代换。即, 令$\tan \frac{x}{2}=t$。

比时有$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2dt}{1+t^2}$。可将关于$x$的三角函数有理式积分化为关于$t$的有理函数积分。

计算比较复杂, 除非万不得已, 一般不使用

例题 1; 计算$\int e^x{\sin }^{2}xdx.$

【解】$\int e^x{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}\int e^x\left(1-\cos 2x\right)dx=\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{2}\int e^x\cos 2xdx,$

而$\int e^x\cos 2xdx=\int \cos 2xd{e}^x=e^x\cos 2x+2\int e^x\sin 2xdx$

$$=e^x\cos 2x+2\int \sin 2xd{e}^x=e^x\cos 2x+2e^x\sin 2x-4\int e^x\cos 2xdx,$$ $$\int e^x\cos 2xdx=\frac{1}{5}{e}^x(\cos 2x+2\sin 2x)+C,$$

所以$\int e^x{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{10}{e}^x(\cos 2x+2\sin 2x)+C.$

6. 求解有理函数的积分**

$P_n(x),Q_m(x)$分别为$n,m$次多项式函数, 则$\int \frac{P_n(x)}{Q_n(x)}dx$称为有理函数积分

7. 基本有理函数的原函数

$$\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln \mid x-a\mid +C$$ $$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C;\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$$ $$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C;\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$$

8. 假分式处理: 通过观察法或长除法分解为函数+真分式

9. 分母中的 $(Mx+N{)}^k$ 因子分解成为：

$$\frac{A_1}{Mx+N}+\frac{A_2}{{\left(Mx+N\right)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{{\left(Mx+N\right)}^k}$$

10. 分母中的${\left(p{x}^2+qx+r\right)}^k$因子分解成为:

$$\frac{A_1+B_1}{p{x}^2+qx+r}+\frac{A_2+B_2}{{\left(p{x}^2+qx+r\right)}^2}+\cdots +\frac{A_k+B_k}{{\left(p{x}^2+qx+r\right)}^k}$$

【注意】这里是$p{x}^2+qx+r$不能在实数范围内再因式分解的情况

5. 求系数的方法:

(1)待定系数法

(2)留数法 (或暇点法)

9. 利用暇点法求解有理函数的积分

通过下方示例掌握暇点法 (又称留数法)分解有理函数:

示例; 求解积分$\int \frac{1}{x(x^2-1)(x+1)}dx$

$$f(x)=\frac{1}{x(x^2-1)(x+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x+1{)}^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1{)}^2}$$ $$A=xf(x){|}_{x=0}=\frac{1}{(x-1)(x+1{)}^2}{|}_{x=0}=-1$$

【笔记】1. 挖暇点 2. 带入暇点值

$$B=(x-1)f(x){|}_{x=1}=\frac{1}{x(x+1{)}^2}{|}_{x=1}=\frac{1}{4}$$

【笔记】1. 挖暇点 2. 带入暇点值

$$D=(x+1{)}^2{f(x)|}_{x=0}=\frac{1}{x(x-1)}{|}_{x=-1}=\frac{1}{2}$$

【笔记】1. 挖暇点 2. 带入暇点值

$$C=[(x+1{)}^{2}f(x){]}^{\prime }{|}_{x=0}=[\frac{1}{x(x-1)}{]}^{\prime }{|}_{x=-1}=-\frac{2x-1}{x^2{\left(x-1\right)}^2}{|}_{x=-1}=\frac{3}{4}$$

【笔记】1. 挖暇点 2. 求导数 3. 带入暇点值

所以

$$\int \frac{1}{x(x^2-1)(x+1)}dx$$ $$=\int (-\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\frac{1}{x-1}+\frac{3}{4}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1{)}^2})dx$$ $$=-\ln \left|x\right|+\frac{1}{4}\ln \left|x-1\right|+\frac{3}{4}\ln \left|x+1\right|-\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}+c$$