版块 4 导数的计算方法

A.实用解题工具

第 1 组：基本高阶导公式

$$(a^x{)}^{(n)}=a^{x}I{n}^{n}a(a>0);(e^x{)}^{(n)}=e^x$$ $$(sinkx{)}^{(n)}=k^n\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{2});(\cos kx{)}^{(n)}=k^n\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$$ $$(x^m{)}^{(n)}=m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{m-n}(m\ge n)$$ $${\left(\ln x\right)}^{(n)}={\left(-1\right)}^{(n-1)}\frac{\left(n-1\right)!}{x^n}$$ $$(\frac{1}{ax+b}{)}^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!a^n}{(ax+b{)}^{n-1}}$$

第 2 组：可导的充要条件

1. 最常用的写法：$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

2. 注意以下几点

(1)分子中要减去切点的函数值$f(x_0)$

示例：$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(-h)}{h}$存在不能$\Rightarrow$连续函数$f(x)$在$x=0$处可导

【笔记】为什么分子中要减去切点的函数值$f(x_0)$？换句话说，为什么$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(-h)}{h}$存在无法推出$f(x)$在$x=0$可导？

设

$$f(x)=\begin{array}{rl}\cos \frac{1}{x},x& \ne 0\\ 0,& x=0\end{array}.$$ $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(-h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos \frac{1}{h}-\cos (-\frac{1}{h})}{h}=0.$$

显然$f(x)$在$x=0$处不可导。

(2)$f(x_0+\Delta x)$中的变量$\Delta x$要既能趋近$0^{+}$，又能趋近$0^{-}$.

(3)分子分母中的含有相同的$\Delta x$.

$$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2\sin \frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}.$$

在$x=0$处可导，但导函数不连续。

第 3组：一元可微的几何意义

可微

定义：$\Delta y=A\cdot \Delta x+o(\Delta x)=dy+o(\Delta x)=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$

考法：$\Delta y-dy$是$\Delta x$的(高阶)无穷小

B .核心问题及解题方法总结

1. 求$f/x$型极限，用导数定义式

笔记：$f/x$型极限用导数定义

这种题的特征：

① 分子是抽象函数$f(x)$

②分母是极限的变量，大部分情况下是$x$，有时也是$t,h$等其他的变量。

③形如$\lim nf(\frac{1}{n})$的数列极限，也可用导数定义。求解过程如下：

示例：连续函数$f(x)=0,f^{\prime }(0)=1$，则$\underset{n\to \infty }{\lim }nf(\frac{1}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{f(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$

有时利用另一种等价写法：$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},(x=x_0+\Delta x).$

示例： 设$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$，则$f^{\prime }(1)$

【解】$f^{\prime }(1)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-1}=2$

2. 函数方程求函数用导数定义

方法：如果题干中给出函数$f(x)$的方程，并求$f(x)$的表达式，可以通过构造导数$f^{\prime }(x)$的定义式建立微分方程。

【笔记】这是一个一阶线性微分方程，可以通过一阶线性微分方程的通解公式进一步求解函数表达式。

3. 对数求导法

对数求导法：对于幂指函数或多项乘、除、乘方、开方的函数，可先取对数再求导。

例题 1. 设 $y=(1+\sin x{)}^x$，求 ${dy|}_{x=\pi }$。

解

两边取对数：

$$\ln y=x\ln (1+\sin x).$$

对 $x$ 求导，得

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln (1+\sin x)+x\cdot \frac{\cos x}{1+\sin x}.$$

因此

$$y^{\prime }=(1+\sin x{)}^x\left[\ln (1+\sin x)+x\cdot \frac{\cos x}{1+\sin x}\right].$$

当 $x=\pi$ 时，$y(\pi )=1$，所以

$${dy|}_{x=\pi }=y^{\prime }(\pi )dx=-\pi dx.$$

4. 隐函数求导

①方程两边对 x 求导，要记住 y 是 x 的函数隐函数

② 隐函数存在定理：

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}(F(x,y)=0)$$

③微分形式不变性

5. 参数方程求导

参数方程求导

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$$ $$\Rightarrow$$ $$\{\begin{array}{l}{y}_x^{{}^{\prime }}=\frac{y_t^{{}^{\prime }}}{x_t^{{}^{\prime }}}\\ y_{xx}^{{}^{\prime \prime }}=\frac{{\left(y_x^{{}^{\prime }}\right)}_t^{{}^{\prime }}}{x_t^{{}^{\prime }}}=\frac{x_t^{{}^{\prime }}{y}_t^{{}^{\prime \prime }}-x_t^{{}^{\prime \prime }}{y}_t^{{}^{\prime }}}{{\left(x_t^{{}^{\prime }}\right)}^3}\end{array}$$

极坐标是特殊的参数方程

6. 泰勒点兵，一一对应：泰勒公式求高阶导

笔记 1：泰勒公式求高阶导的原理

在某点处的高阶导，可用泰勒公式求解。求解步骤如下：

第 1 步：理论公式（所有函数都一样）：

$$\begin{array}{r}f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\end{array}$$

第 2 步：实际展开式（利用泰勒公式得到函数的多项式）

$$f\left(x\right)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

第 3 步；对比系数得出：

$$\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}=a_n\Rightarrow f^{(n)}(x_0)=a_n\cdot n!$$

（记住这个公式即可）

笔记 2：偶函数在原点处的奇数阶导为 0

示例：已知函数$f(x)=\ln (1+x^2)$，则$f^{(2023)}(0)=$_

【解】$f(x)=\ln (1+x^2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}(x^2{)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^{2n}$

由泰勒公式法可知$a_{2n+1}{x}^{2n+1}=\frac{f^{(2n+1)}(0)x^{2n+1}}{(2n+1)!}=0\Rightarrow f^{(2n+1)}(0)=0,\text{故}{f}^{(2023)}(0)=0$

由本题可得到一个重要结论：偶函数在原点处的奇数阶导为 0

笔记 3：奇函数在原点处的偶数阶导为 0

示例：$f(x)=(x+x^3)e^{x^2}$, 则$f^{(2024)}(0)=$_

【解】$f(x)=(x+x^3)e^{x^2}=(x+x^3)(1+x^2+\frac{1}{2!}{x}^4+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^{2n}+\dots )$

易知上述展开式所有项均为级数次幂，所以有$a_{2n}{x}^{2n}=0$

由泰勒公式法可知$a_{2n}{x}^{2n}=\frac{f^{(2n)}(0)x^{2n}}{(2n)!}=0\Rightarrow f^{(2n)}(0)=0,$故$:f^{(2024)}(0)=0$

由本题可得到一个重要结论：奇函数在原点处的偶数阶导为0