版块 22 幂级数

A. 实用解题工具

第 1 组: 级数求和基本公式

1. 最重要公式: $\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots =\frac{1}{1-x}$

2. 次重要公式:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}& =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \\ & +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots =\ln \left(1+x\right)\end{array}$$

3. 带阶乘公式:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots \\ & +\frac{x^n}{n!}+\cdots =e^x\\ \sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}& =x-\frac{x^3}{3!}+\cdots \\ & +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}+\cdots =\sin x\\ \sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots \\ & +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}+\cdots =\cos x\\ 1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a\left(a-1\right)\cdots \left(a-n+1\right)}{n!}{x}^n& =1+ax+\cdots \\ & +\frac{a\left(a-1\right)\cdots \left(a-n+1\right)}{n!}{x}^n\cdots ={\left(1+x\right)}^a\end{array}$$

B. 核心问题及解题方法总结

1. 求解收敛半径

阿贝尔定理

$$\{\begin{array}{l}\text{ 幂级数 }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\text{ 在 }{x}_0\ne 0\text{ 处收敛,则其在满足 }\left|x\right|<\left|x_0\right|\text{ 的所有点处绝对收敛 }\\ \text{ 幂级数 }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\text{ 在 }{x}_1\ne 0\text{ 处发散,则其在满足 }\left|x\right|>\left|x_1\right|\text{ 的所有点处发散 }\end{array}$$

收敛半径求法

$$\begin{array}{rl}\text{幂级数 }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\text{ 的收敛半径:}& \underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho \\ & \Rightarrow R=\frac{1}{\rho }.\\ \text{幂级数 }\sum _{n=0}^{\infty }{u}_n\left(x\right)\text{ 的收敛区间:}& \underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\rho \left(x\right)<1\\ & \text{或 }\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{\left|u_n\left(x\right)\right|}=\rho \left(x\right)<1\\ & \text{解出的 }x\text{ 范围}\\ \text{幂级数 }\sum _{n=0}^{\infty }{u}_n\left(x\right)\text{ 的收敛域:}& \text{在收敛区间的基础上,}\\ & \text{再额外判断区间端点的敛散性}\end{array}$$

例题 1. 幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^n}\right)x^n$ 的收敛域为___.

【解】首先,求 $\rho$

$$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}+\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^n}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{{\left(n+1\right)}^2}{2^{n+1}}}{1+\frac{n^2}{2^n}}\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2}=1.$$

其次,写出幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^n}\right)x^n$ 的收敛半径与收敛区间.

其收敛半径 $R=\frac{1}{\rho }=1$ ,收敛区间为 $\left(-1,1\right)$ .

最后, 确定收敛区间端点的敛散性, 写出收敛域.

当 $x=-1$ 时, $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^n}\right)$ 收敛; 当 $x=1,\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^n}\right)$ 收敛. 故该幂级数的收敛域为 $\left[-1,1\right]$ .

2. 收敛半径的变化

1. 若幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$ ,则:

（1） $a_n$ 前乘以或除以 $n$ 的多项式,收敛半径不改变。示例:

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^n,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{a}_n{x}^n,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^3-2}{n^2+n}{a}_n{x}^n$$

半径依然为 $R$ 。

（2） $a_n$ 前乘以指数 $k^n$ ,收敛半径变为 $\frac{R}{k}$ 。示例: $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{2}^n{x}^n,\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^n}{a}_n{x}^n$ 的收敛半径分别为 $\frac{R}{2},2R$

3. 条件收敛确定半径

条件收敛确定收敛半径: 若幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在点 $x=c$ 处条件收敛,则级数的收敛半径必为 $c$

因为如果 $R<c$ ,则幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在点 $x=c$ 处应发散,矛盾; 如果 $R>c$ ,则幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=c$ 处应绝对收敛,矛盾。所以收敛半径必为 $c$

4. 级数展开的方法

1. 直接法:

$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}{\left(x-x_0\right)}^2+\cdots$$

2. 间接法:

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{1-x}& =1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,\left(-1,1\right)\\ e^x& =1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},\left(-\infty ,+\infty \right)\\ \sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!},\left(-\infty ,+\infty \right)\\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!},\left(-\infty ,+\infty \right)\\ \ln \left(1+x\right)& =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1},\left(-1,1\right)\\ {\left(1+x\right)}^a& =1+ax+\frac{a\left(a-1\right)}{2!}{x}^2+\cdots \\ & +\frac{a\left(a-1\right)\cdots \left(a-n+1\right)}{n!}{x}^n+\cdots ,\left(-1,1\right)\end{array}$$

5. 求解 $n$ 在分子的级数

1. $n$ 在分子的求解思路: 先积分再求导 (如 $\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n$ 变形为 $x\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$ ,先积分再求导)

2. 积分时幂次比系数小 1,即: $n{x}^{n-1}$ 的形式。如果是 $n{x}^n$ 形式,则需要将多余的 $x$ 提至求和符号外。如果是 $n{x}^{n-2}$ 形式,则需要将 $\frac{1}{x}$ 提至求和符号外。