版块 20 曲面积分计算

B. 核心问题及解题方法总结

1. 简化一型曲面积分

方法 1: 奇偶对称简化

奇对称

$$\{\begin{array}{l}\text{ 区域关于 }y\text{ oz }\text{ 面对称,}\\ \text{ 则 }{\iint }_{\sum }f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}S=0\end{array}$$

偶对称

$$\{\begin{array}{l}\text{ 区域关于 }y\ge 0\text{ 的对称,被积函数为 }x\text{的偶函数 }\\ \text{ 则 }{\iint }_{\sum }f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}S=2{\iint }_{{\sum }_1}f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}S\text{,其中 }{\sum }_1\text{ 为 }\sum \text{ 的一半 }\end{array}$$

方法 2: 轮换对称简化

轮换对称

$$\{\begin{array}{l}\text{ 积分区域关于 }x,y\text{ 轮换对称 }\\ {\iint }_{\sum }f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}S={\iint }_{\sum }f\left(y,x,z\right)\mathrm{d}S\end{array}$$

方法 3: 方程简化

方程简化: 可代入曲面方程化简被积函数

2. 计算第一型曲面积分

1. 运用二重积分计算:

$${\iint }_{\sum }f\left(x,y,z\right)\mathrm{d}S={\iint }_{D_{xy}}f\left[x,y,z\left(x,y\right)\right]\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

2. 应用。

① 计算曲面面积: $S={\iint }_{\sum }\mathrm{d}S$

② 计算曲面质量:

$$m={\iint }_{\sum }\mu \left(x,y,z\right)\mathrm{d}S={\iint }_{D_{xy}}\mu \left[x,y,z\left(x,y\right)\right]\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

3. 简化与计算第二型曲面积分

1. 计算前先简化: 方程简化: 可代入曲面方程化简被积函数

2. 利用 $\to$ 重积分计算

$$\{\begin{array}{l}{\iint }_{\sum }P\left(x,y,z\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\pm {\iint }_{D_{xy}}P\left[x\left(y,z\right),y,z\right]\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ {\iint }_{\sum }Q\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}z=\pm {\iint }_{D_{xy}}Q\left[x,y\left(x,z\right),z\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}z\\ {\iint }_{\sum }R\left(x,y,z\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm {\iint }_{D_{xy}}R\left[x,y,z\left(x,y\right)\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

4. 利用高斯公式计算曲面积分

1. 封闭外侧且单连通曲面的高斯公式:

封闭外侧:

$$\underset{\Sigma }{\int \int ◯}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iiint }_{\Omega }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV$$

2. 非封闭的处理方法

非封闭:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 补面 }:{\iint }_{\sum }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\left({\iint }_{\sum }+{\iint }_{{\sum }_1}\right)-{\iint }_{{\sum }_1}\\ \text{ 其中,运用高斯公式求 }{\iint }_{\sum }+{\iint }_{{\sum }_1}\text{,运用二重积分求 }{\int }_{\sum }\end{array}$$

3. 非单连通的处理方法

非单连通:

补面 :

$$\underset{\Sigma }{\int \int ◯}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(\underset{\Sigma }{\int \int ◯}+\underset{{\Sigma }_1}{\int \int ◯})-\underset{{\Sigma }_1}{\int \int ◯}$$

运用高斯公式求：

$$\underset{\Sigma }{\int \int ◯}+\underset{{\Sigma }_1}{\int \int ◯}$$

运用高斯公式或二重积分求：

$$\underset{{\Sigma }_1}{\int \int ◯}$$

例题 1

设空间区域 $\Omega$ 由圆锥面

$$z=\sqrt{3\left(x^2+y^2\right)}$$

与半球面

$$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$$

围成，$\Sigma$ 是 $\Omega$ 整个边界的外侧。求

$$\underset{\Sigma }{\int \int ◯}\left(xdydz+ydzdx+zdxdy\right).$$

解

由两曲面方程消去 $z$，得

$$x^2+y^2=\frac{R^2}{4}.$$

因此，$\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为

$$x^2+y^2\le \frac{R^2}{4}.$$

利用高斯公式，并使用柱坐标 $x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$，有

$$\begin{array}{rl}& \underset{\Sigma }{\int \int ◯}\left(xdydz+ydzdx+zdxdy\right)\\ & ={\iiint }_{\Omega }(1+1+1)dxdydz\\ & =3{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{R/2}rdr{\int }_{\sqrt{3}r}^{\sqrt{R^2-r^2}}dz\\ & =6\pi {\int }_0^{R/2}r\left(\sqrt{R^2-r^2}-\sqrt{3}r\right)dr.\end{array}$$

继续计算：

$$\begin{array}{rl}& =-3\pi {\left[\frac{2}{3}{\left(R^2-r^2\right)}^{3/2}\right]}_0^{R/2}-{\left[2\pi \sqrt{3}{r}^3\right]}_0^{R/2}\\ & =\left(2-\sqrt{3}\right)\pi R^3.\end{array}$$

说明：本题也可用球坐标计算三重积分。