版块 19 曲线积分计算

版块 19 曲线积分计算 (仅数一)

B. 核心问题及解题方法总结

1. 一型曲线的简化

简化方式 1: 奇对称

$$\{\begin{array}{l}\text{ 若 }L\text{ 关于 }x\text{ 轴 }\left(\text{ 或 }y\text{ 轴 }\right)\text{ 对称,}f\left(x,y\right)\text{ 为 }y\left(\text{ 或 }x\right)\text{ 的奇函数 }\\ \text{ 则 }{\int }_{L}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s=0\end{array}$$

简化方式 2: 偶对称

$$\{\begin{array}{l}\text{ 若 }L\text{ 关于 }x\left(\text{ 或 }y\right)\text{ 对称,}f\left(x,y\right)\text{ 为 }x\left(\text{ 或 }y\right)\text{ 的偶函数 }\\ \text{ 则 }{\int }_{L}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s=2{\int }_{L_1}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s\text{ (其中 }{L}_1\text{ 为 }L\text{ 的一半) }\end{array}$$

简化方式 3: 轮换对称

$$\{\begin{array}{l}\text{ 若 }L\text{ 关于 }y=x\text{ 对称,}f\left(x,y\right)\\ \text{ 则 }{\int }_{L}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s={\int }_{L}f\left(y,x\right)\mathrm{d}s\end{array}$$

简化方式 4: 方程简化: 曲线 $L$ 的方程可直接代入 ${\int }_{L}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s$ 的被积函数

例题1. 设

$$\Gamma :\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=4,\\ x+y+z=0,\end{array}$$

则 ${\oint }_{\Gamma }{x}^{2}ds=$

【解】

$${\oint }_{\Gamma }{x}^{2}ds=\frac{1}{3}{\oint }_{\Gamma }\left(x^2+y^2+z^2\right)ds=\frac{4}{3}{\oint }_{\Gamma }ds=\frac{4}{3}\cdot 2\pi \cdot 2=\frac{16}{3}\pi$$

2. 定积分计算一型曲线

计算: 化为定积分

$${\int }_{L}f\left(x,y\right)\mathrm{d}s={\int }_a^{b}f\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)\sqrt{{\left(x_t^{\prime }\right)}^2+{\left(y_t^{\prime }\right)}^2}\mathrm{d}t$$

3. 简化与计算二型曲线积分

1. 方程简化: 曲线 $L$ 的方程可直接代入 ${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 的被积函数中

2. 定积分计算:

$${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\int }_a^b\left[P\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)x_t^{\prime }+Q\left(x\left(t\right),y\left(t\right)\right)y_t^{\prime }\right]\mathrm{d}t$$

4. 利用格林公式计算二型曲线积分

1. 格林公式

封闭正向: 格林公式 ${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

2. 非封闭的处理方法

非封闭正向

$$\{\begin{array}{l}\text{ 补线: }{\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\oint }_{L+L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y-{\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\\ \text{ 其中,格林公式计算 }{\oint }_{L+L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\text{; 定积分计算}{\int }_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\end{array}$$

5. 挖洞法计算二型曲线积分

非单连通区域上二型曲线积分的处理方法: 挖洞

例题 1. 计算曲线积分 ${\oint }_L\frac{\left(x-y\right)dx+\left(x+4y\right)dy}{x^2+4y^2}$ ,其中

（1） $L$ 为曲线 $\left|x\right|+\left|y\right|=1$ 的逆时针方向。

（2） $L$ 为曲线 ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=1$ 的逆时针方向。

【解】 $P=\frac{x-y}{x^2+4y^2},Q=\frac{x+4y}{x^2+4y^2},\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ ,

（1）不能直接使用格林公式。令 $C:x^2+4y^2=r^2\left(r>0\right)$ 逆时针且 $C$ 在曲线 $L$ 内,曲线 $\mathrm{C}$ 围成区域 $D$

则有 ${\oint }_L\frac{\left(x-y\right)dx+\left(x+4y\right)dy}{x^2+4y^2}$

$$={\oint }_C\frac{\left(x-y\right)dx+\left(x+4y\right)dy}{x^2+4y^2}=\frac{1}{r^2}{\oint }_C\left(x-y\right)dx+\left(x+4y\right)dy$$ $$=\frac{1}{r^2}{\iint }_{D}2d\sigma =2\times \frac{1}{r^2}\times \pi \times r\times \frac{r}{2}=\pi$$

（2）曲线 $L$ 围成区域 $D_2$ ,不包含零点。可直接使用格林公式。

$${\oint }_L\frac{\left(x-y\right)dx+\left(x+4y\right)dy}{x^2+4y^2}={\iint }_{D_2}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$$