版块 18 三重积分计算方法

A. 实用解题工具

∭_{Ω} f (x, y, z) d V = {0, f 是 x 的奇函数 ∭_{Ω} f (x, y, z) d V, f 是 x 的偶函数, Ω_{1} 是 Ω 前半部分

{若积分区域关于 x, y 轮换对称 则 ∭_{Ω} f (x, y, z) d V = ∭_{Ω} f (y, x, z) d V

【笔记】轮换对称对函数 $f (x, y, z)$ 无要求

直角坐标

{∭_{Ω} f (x, y, z) d V = \int_{a}^{b} d x \int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (y)} d y \int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z 其他积分展开次序同理

∭_{Ω} f (x, y, z) d V = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} r d r \int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z

⎩ ⎨ ⎧ x = r cos θ, y = r sin θ, z = z, 0 \leq r < + \infty, 0 \leq θ \leq 2 π, - \infty < z < + \infty.

例题 1. 计算 $∭_{Ω} z e^{x^{2} + y^{2}} d V$ ,其中 $Ω$ 是由曲面 $z = x^{2} + y^{2}$ 以及平面 $z = 2$ 所围成的区域.

【解】

∭_{Ω} z e^{x^{2} + y^{2}} d V = ∭_{Ω} z e^{r^{2}} r d r d θ d z = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{2} e^{r^{2}} r d r \int_{r}^{2} z d z

= \int_{0}^{2 π} [\int_{0}^{2} e^{r^{2}} \cdot \frac{1}{2} (2^{2} - r^{2}) r d r] d θ = π \int_{0}^{2} e^{r^{2}} (2^{2} - r^{2}) r d r = \frac{π}{2} (e^{4} - 5) .

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