版块 11 高阶微分方程

A .实用解题工具

第 1 组: 高阶微分方程解题框架图

1. 常系数

齐次：$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$通解

$$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}({\lambda }_1,{\lambda }_2\text{为相异的实特征根})$$ $$y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}({\lambda }_1,{\lambda }_2\text{为相同的实特征根})$$ $$y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C,\sin \beta x)({\lambda }_1,{\lambda }_2\text{为共轭复根})$$

非齐次：$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(x)$特解

变形: 多项式广义化, 指数不变, 三角补全, 得$g(x)$

同根:$y^{\ast }=x^{k}g(x)$

注$:f(x)$中指数或三角对应根为${\lambda }^2+a\lambda +b=0$的$k$重根

示例:$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=x{e}^{-x}$特解形式为$y^{\ast }=x^2(ax+b)e^{-x}$

2. 变系数

$f(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$型（不显含$y$）:$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$代入原方程得一阶方程

$f(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$型（不显含$x$）:$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$代入原方程得一阶方程

B. 核心问题及解题方法总结

1. 二阶常系数的通解

1.$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$通解有以下三种情况

$y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}(\lambda ,{\lambda }_2$为相异的实特征根)

$y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}({\lambda }_1,{\lambda }_2$为相同的实特征根)

$y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$(${\lambda }_1,{\lambda }_2$为共轭复根)

2. 二阶常系数的特解形式

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(x)$特解, 分为两步:

第一步, 变形。

(1)$f(x)$中的多项式进行广义化。

(2)$f(x)$中的指数项不变, 且保留。

(3)$f(x)$中的三角项补仝, 得到$g(x)$

示例 1: 若$f(x)=x$,则变形后为$f(x)=ax+b$。

【笔记】一次函数$x$广义化为一次函数通式$ax+b$

示例 2: 若$\int (x)=x{e}^x$,则变形后为$f(x)=(ax+b)e^x$

【笔记】多项式广义化, 且指数项保留

示例 3: 若$f(x)=x{e}^x\cos x$,则变形后为$f(x)=(ax+b)e^x\cos x+(cx+d)e^x\sin x$

【笔记】多项式广义化, 指数项保留, 且根据$\cos x$的形式$(ax+b)e^x\cos x$, 依葫芦画瓢补全了$\sin x$对应的项$(cx+d)e^x\sin x$

第二步, 同根。

(1)$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0⟹{\lambda }^2+a\lambda +b=0$求出左侧的特征值

(2)从右侧$f(x)$中找出指数项 e${}^{\lambda x}$,提取出右侧的特征值$\lambda$

若右侧特征值与左侧$k$个特征值相同。则有特解形式为:$x^{k}g(x)$

【笔记】成对复数根$\lambda =\alpha \pm \beta i$视为整体, 为 1 组。即当方程右侧为$\lambda =\alpha \pm \beta i$，左侧也是$\lambda -\alpha \pm \beta i$时,$k=1$

示例:$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=x{e}^{-x}$的特解形式为$y^{\ast }=x^2(ax+b)e^{-x}$。此处$k=2$, 这是因为方程左边 (齐次部分)$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0\Rightarrow {\lambda }^2+2\lambda +1=0⟹{\lambda }_{1,2}=-1$。方程右边$f(x)=x{e}^{-x}$的指数对应$\lambda =-1$恰好是方程左边的 2重特征根。

3. 求解可降阶的微分方程

情况 1.$f(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$型 :$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}$代入原方程得一阶方程

情况 2.$f(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$型:$y^{\prime }=p,y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$代入原方程得一阶方程