版块 10 一阶微分方程

A.实用解题工具

第 1 组: 一阶微分方程解题框架图

1. 可分离变量：

判别：$f(y)dy=g(x)dx$

求解:左右两边分别积分

2. 齐次线性:

判别：$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

求解：令$u=\frac{y}{x}$,将$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$化为$x\frac{du}{dx}+u=f(u)$

3. 一阶线性：

判别：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

求解：$y=e^{-\int Pdx}(\int Q(x)e^{\int Pdx}dx+C)$

4. 全微分:

判别：$Adx+Bdy=0,$且$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}$（$A=\frac{\partial Z}{\partial x};B=\frac{\partial Z}{\partial y}$）

求解:$Adx+Bdy$逐步凑成$du$,最终$u=C$

【例】$xdx+ydy=0\Rightarrow \frac{1}{2}d(x^2+y^2)=0\Rightarrow \frac{1}{2}(x^2+y^2)=C$

B . 核心问题及解题方法总结

1. 求解可分离变量的微分方程

1. 可分离变量判別$:f(y)dy=g(x)dx$

2. 求解: 左右两边分别积分

2. 求解齐次微分方程

1. 齐次线性的判别:$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$

2. 求解: 令$u=\frac{y}{x},$（有时令$u=\frac{x}{y}$） 将$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$化为$x\frac{du}{dx}+u=f(u)$

3. 求解一阶线性微分方程

这是一阶微分方程中最重要的类型。熟记以下标准形式与通解公式：

1. 一阶线性的标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

2. 通解公式：

$$y={\mathrm{e}}^{-\int Pdx}(\int Q(x){\mathrm{e}}^{\int Pdx}dx+C)$$

【笔记】①一阶线性微分方程，需要化为标准形式后才能用公式。标准形式中$\frac{dy}{dx}$前的系数为$1$，提取出$P(x)$与$Q(x)$，带入通解公式即可。

②有时$x,y$的地位反过来。即$x$是函数，$y$为自变量。此时，一阶线性的标准形式为$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}+P(y)x=Q(y)$，对应的通解公式为$x={\mathrm{e}}^{-\int P\mathrm{d}y}\left(\int Q(y){\mathrm{e}}^{\int P\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C\right)$