版块 6 向量组理论

A .实用解题工具

第 1 组: 向量组的线性相关性

1. 向量组线性相关的定义: 若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot \cdot ,{\alpha }_s$是$n$维列向量, 存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots ,k_s$使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$

2. 向量组线性相关的等价条件

方程组：齐次线性方程组

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdot \cdot ,{\alpha }_s)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_s\end{array}\right)=0$$

有非零解

矩阵的秩$:r(a_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)<s$

矩阵可逆性: 方阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$不可逆 (若$s=n$)

行列式:$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s|=0$(若$s=n$)

第 2 组：向量组秩的变化

向量组秩的变化:

数量扩大与缩小（越多越相关）

线性无关向量组缩小后仍线性无关，

线性相关向量组扩大后仍线性相关.

分量（维数）增加与减少 (越短越相关)

线性无关组分量增加后仍线性无关，

线性相关组分量减少后仍线性相关.

若向量组 A 可由向量组 B 线性表示，则$r\left(A\right)\le r\left(B\right)$

秩少量多则相关：若${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示，且$t>s$则${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_i$线性相关

第 3 组: 单个向量线性表示

1.$\beta$能否由${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$线性表示等价于

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_s\end{array}\right)=$$ $$=\beta (Ax=\beta )$$

是否有解

2. 存在三种情况

(1)若$r(A,\beta )=r(A)+1$,则$\beta$不可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$线性表示

(2)若$r(A,\beta )=r(A)=s,$则$\beta$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$线性表示, 且表示法唯一

(3)若$r(A,\beta )=r(A)<s$,则$\beta$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_s$线性表示, 且表示法不唯一

第 4 组: 施密特正交

施密特正交化:${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关, 则可构造${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$使其两两正交

公式：

$$\begin{array}{rl}{\beta }_1& ={\alpha }_1\\ {\beta }_2& ={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1\\ {\beta }_3& ={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2\end{array}$$

第 5 组: 极大线性无关组的概念

向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$中有个$r$向量组性无关, 且任意$r+1$个向量 (如果有)线性相关

则称这$r$个线性无关的向量为该向量组的一个极大线性无关组, 且$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=r$

B. 核心问题及解题方法总结

1. 证明线性无关的方法

1. 向量组线性无关的定义: 若${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$是 n 维列向量, 当且仅当$k_1=k_2=\cdots =k_s=0$时使得$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$

2. 向量组线性无关的等价条件

方程组: 齐次线性方程组

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$$ $$\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ ⋮\\ k_s\end{array}\right)=0$$

仅有零解

矩阵的秩:$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)=s$

矩阵可逆性: 方阵$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$可逆 (若$s=n$)

行列式:$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s|\ne 0$(若$s=n$)

3. 主要的证明方法: 定义法, 秩

2. 线表秩不变、不可线表秩加 1

重要结论:

(1) 线表秩不变原理: 若$\beta$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示, 则向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$加入新向量$\beta$后, 秩不变。即$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\beta )=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$

(2) 由线表秩不变原理演变出求秩方法: 线表消除法。即能被其他向量线性表示的向量可被消除, 而不影响向量组的秩。

例题 1 设向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性无关, 向量${\beta }_1$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示, 而向量${\beta }_2$不能由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示, 则对于任意常数$k$,必有 ( )

(A)${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2$线性无关;

(B)${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2$线性相关;

(C)${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1+k{\beta }_2$线性无关;

(D)${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1+k{\beta }_2$线性相关

【解】不妨设题中为列向量。向量${\beta }_1$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示, 所以$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2)$,经过列变换可化为$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_2)$又因为向量${\beta }_2$不能由${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$线性表示, 所以$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_2)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)+1=4$

故向量组${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2$线性无关, 选 (A)

3. 向量组线性表示的求解

1. 线表与等价

$$\begin{array}{rl}\text{向量组 }B\text{ 可由向量组 }A\text{ 线性表示}& ⟹r(A)=r(A,B),r(A)\ge r(B),\\ \text{向量组 }B\text{ 与向量组 }A\text{ 等价}& ⟹r(A)=r(A,B)=r(B).\end{array}$$

2. 向量组等价与矩阵等价的区别:

(1)同型矩阵等价$:r(A)=r(B)$

(2)向量组等价$:r(A)=r(B)=r(A,B)$

4. 求解双组线表

重要结论: 非零向量被两个向量组线性表示的问题可化为齐次方程组。

设非零向量$\xi$既可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$线性表示, 又可由${\beta }_1,{\beta }_2,....,{\beta }_n$线性表示,则

$$\xi =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2+\cdots +y_n{\beta }_n$$

所以$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n-(y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2+\cdots +y_n{\beta }_n)=0$有非零解

上述过程可简记为: 非零$\xi =Ax=By$,

进而

$$Ax-By=0⟹(A,-B)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$$

有非零解。