版块 3 矩阵的秩与运算

A .实用解题工具

第 1 组：矩阵的秩的公式

矩阵的秩

定义: 设矩阵$A_{m\times n}$,若$A$中非零子式的最高阶数为$r$,则称$A$的秩为$r$,记作$r(A)=r$

对于具体矩阵, 阶梯形矩阵中非零的行数就是矩阵的秩

1. 矩阵相加$:r(A\pm B)\le r(A)+r(B)$

2. 矩阵相乘:$r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min (r(A),r(B))$

3. 相乘为$0:AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n$

4. 传递性：$P,Q$均可逆$\Rightarrow r\left(PAQ\right)=r\left(AQ\right)=r\left(PA\right)=r\left(A\right)$

5. 对角分块:

$$r(\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B);r(\left(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right))\ge r(A)+r(B)$$

6. 上下 (或左右)分块:$r((\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{B}))\le r(A)+r(B);r(A⋮B)\le r(A)+r(B)$

7. 转置:$r\left(A\right)=r\left(A^{\mathrm{T}}\right)=r\left(A^{\mathrm{T}}A\right)=r\left(A{A}^{\mathrm{T}}\right)$

8. 等价

$$\{\begin{array}{l}\text{同型矩阵}A,B\text{等价}⟺r\left(A\right)=r\left(B\right)\\ \text{若}A\text{经过有限次初等变换化为}B\text{, 则称}A\text{与}B\text{等价}\end{array}$$

例题 l: 设$A$为$n$阶矩阵, 且$A^2-2A-8E=O$.求$r(4E-A)+r(2E+A)=$______

【证明】由$A^2-2A-8E=O$得$(4E-A)(2E+A)=O$, 根据矩阵秩的性质得

$r(4E-A)+r(2E+A)\le n$.又$r(4E-A)+r(2E+A)\ge r[(4E-A)+(2E+A)]=r(6E)=n$,

所以有$r(4E-A)+r(2E+A)=n.$

第 2 组: 逆矩阵常见运算

逆阵常见运算

$$\{\begin{array}{l}{\left(A^{-1}\right)}^{-1}=A;{\left(kA\right)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}\left(k\ne 0\right);{\left(AB\right)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}\\ {\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}={\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{-1};{\left(A^n\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^n;\left|A^{-1}\right|={\left|A\right|}^{-1}\end{array}$$

第 3 组: 线代各版块相互联系

1. 矩阵可逆与各版块

矩阵$A$不可逆:

矩阵:$r(A)<n($不满秩)

行列式:$|A|=0$

方程组:$Ax=0$有非零解

向量组:$A$的列 (或行)向量组线性相关

特征值: 0为$A$矩阵的特征值

矩阵$A$可逆:

矩阵:$r(A)=n$(满秩)

行列式:$|A|\ne 0$

方程组:$Ax=0$仅有唯一零解

向量组:$A$的列 (或行)向量组线性无关

特征值: 0 不为矩阵$A$的特征值

2.

$$\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|$$

与各版块

行列式:$|A|=0$

矩阵:$r(A)<n($不满秩)

矩阵$A$不可逆

方程组：$Ax=0$有非零解

向量组$:A$的列 (或行)向量组线性相关

特征值: 0 为$A$矩阵的特征值

行列式:$|A|\ne 0$

矩阵:$r(A)=n($满秩)

矩阵$A$可逆

方程组$:Ax=0$仅有唯一零解

向量组$:A$的列 (或行)向量组线性无关

特征值: 0 不为矩阵$A$的特征值

第 4 组: 矩阵的可交换性

重要结论:

1. 当$A,B$互为逆阵时,$A,B$可交换。即,$AB=BA$

2.$A-E,A+E$可交换

证明 :

1.当$A,B$互为逆阵时, 有$A=B^{-1},B=A^{-1}$。所以有$AB=E=BA$

2.$(A-E)(A+E)=A^2-E^2=(A+E)(A-E)$,故$A-E,A+E$可交换

B. 核心问题及解题方法总结

1. 利用$AB=O$求解秩

重要结论:

(1)$A_{mn}{B}_{nl}=O$则有$r(A)+r(B)\le n$

(2)设$A,B,C$均为方阵, 且$B$可逆,

(2.1)若$BAC=O$,则有$r(A)+r(C)<n$。

(2.2)若$ABC=O$,则有$r(A)+r(C)<n$。

(2.3) 若$ACB=O$,则有$r(A)+r(C)<n$。

(2)中的 3 个小结论与下面这个结论一样: 若$AC=O$,则$r(A)+r(C)<n$。即, 乘可逆矩阵仿佛和没乘一样。

(2.1)的证明: 若$BAC=O$,则有$(BA)C=O$,所以$r(AB)+r(C)=r(A)+r(C)<n$。

同理可证明 (2.2)和 (2.3)均正确。

2. 求分块矩阵的秩

牢记以下重要结论:

(1)$AB$的列向量组可由$A$的列向量组线性表示, 则$r(A,AB)=r(A)$

即$B$右乘$A$后得到的矩阵$AB$与矩阵 A 列分块时, 列分块矩阵$\left(A,AB\right)$的秩等于原矩阵$A$的秩

(2) BA 的行向量组可由$A$的行向量组线性表示, 则

$$r\left(\begin{array}{c}BA\\ A\end{array}\right)\equiv r(A)$$

即$B$左乘$A$后得到的矩阵$BA$与矩阵 A 行分块时, 行分块矩阵$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{BA}{A}\right)$的秩等于原矩阵$A$的秩

助记: B 右乘后, 列分块的秩等于原 A 的秩; B 左乘后, 行分块的秩等于原 A 的秩。简称, 左行右列原理。

右列原理证明: 令

$$AB=C\Rightarrow ({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& \dots & b_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n1}& \cdots & a_m\end{array}\right)=({\gamma }_1,{\gamma }_2,...,{\gamma }_n)\Rightarrow {\gamma }_j=\sum _{i=1}^n{b}_{ij}{\alpha }_i$$

$AB$的列向量组可由$A$的列向量组线性表示。所以$\left(A,AB\right)$经过列变换可变为$\left(A,O\right)$。由于列变换不改变矩阵的秩, 所以$r(A,AB)=r(A,O)=r(A)$

左行原理证明: 令$BA=C$,转置后有$A^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}$。由右列原理可知$r\left(A^{\mathrm{T}},A^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}\right)=r(A^{\mathrm{T}})$

又因为

$${\left(A^{\mathrm{T}},A^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right),$$

所以

$$r\left(\begin{array}{c}A\\ BA\end{array}\right)=r\left(A^{\mathrm{T}},A^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}\right)=r\left(A^{\mathrm{T}}\right)=r(A)$$

(3)$A^{\mathrm{T}}Ax=0$与方程$A\mathrm{x}=0$同解,$A^{\mathrm{T}}A$与$A$行向量组等价,$A^{\mathrm{T}}A$可经过行变换成为$A$, 故$r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)$

(4) 分块矩阵的秩:

$$r(\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B);r(\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array})\ge r(A)+r(B)$$

例题 1.设$A,B$为$n$阶实矩阵,下列说法正确的有几个( )

$$\begin{array}{rl}& r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{\mathrm{T}}A\end{array}\right)=2r(A)r\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2r(A)\\ & r\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A^{\mathrm{T}}A\end{array}\right)=2r(A)r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=2r(A)\end{array}$$

(A) 1 个 (B) 2 个 (C)3个 (D)4个

$$\begin{array}{rl}& \text{【解】选 D。本题各个说法均正确, 证明如下:}\\ & \text{说法 1:}r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{\mathrm{T}}A\end{array}\right)=r(A)+r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)+r(A)=2r(A)\\ & \text{说法 2: }\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\text{经列变换后可得 }\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right),\\ & \text{故}r\left(\begin{array}{cc}A& AB\\ O& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=r(A)+r(A^{\mathrm{T}})=2r(A)\\ & \text{说法3:}\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A^{\mathrm{T}}A\end{array}\right)\text{经行变换可得}\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A\end{array}\right)\text{, 再经行变换可得}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A\end{array}\right),\text{ 故 }r\left(\begin{array}{cc}A& BA\\ O& A^{\mathrm{T}}A\end{array}\right)=2r(A)\\ & \text{说法4:}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)\text{经行变换后可得}\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right),\text{故}r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ BA& A^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=r(A)+r(A^{\mathrm{T}})=2r(A)\end{array}$$

3. 求逆矩阵的方法

$$\begin{array}{rl}& \text{方法 1: 初等行变换}:(A⋮E)\to (E⋮A^{-1})\\ & \text{方法 2: 伴随矩阵公式:}\left|A\right|\ne 0,A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|}{A}^{\ast }\\ & \text{方法 3: 利用定义}:\text{构造出等式}AB=E\text{或}BA=E,\text{则}B=A^{-}\\ & \text{方法 4: 利用分块矩阵: 若}A,B\text{均可逆则}\{\begin{array}{l}{\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right)\\ {\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)\end{array}\end{array}$$

4. 逆阵包围法求解矩阵之和

原理: 逆阵包围公式$:A,B$可逆时,$A^{-1}(A+B)B^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$

例题 1. 设 A, B 为 3 阶矩阵, 且$\left|A\right|=3,\left|B\right|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2,$则$\left|A+B^{-1}\right|=$

【解】$A^{-1}(A+B^{-1})B=A^{-1}AB+A^{-1}{B}^{-1}B=B+A^{-1}=A^{-1}+B$

两边各取行列式可得：

$$\left|A^{-1}(A+B^{-1})B\right|=\left|A^{-1}\right|\left|A+B^{-1}\right|\left|B\right|=\frac{\left|B\right|}{\left|A\right|}\cdot \left|A+B^{-1}\right|=\left|A^{-1}+B\right|\Rightarrow \frac{2}{3}\left|A+B^{-1}\right|=2$$

所以$\left|A+B^{-1}\right|=3$

5. 非零特征值个数与秩

重要结论:可对角化矩阵的秩等于其非零特征值的个数

证明: 若矩阵可对角化, 则有$A\sim \Lambda$,其中$\Lambda$是矩阵 A 的特征值, 此时有$r(A)=r(\Lambda )$.而$r(\Lambda )$是非零特征值的个数。所以可对角化矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

【注意】如果没有可对角化这个条件, 矩阵的秩不一定等于其非零特征值的个数。

例如矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

的特征值全为零, 但秩为 1.

6. 利用列满秩矩阵的性质

重要结论: 若矩阵$A$列满秩, 则: 1.$ABx=0$与$Bx=0$同解; 2.$r(AB)=r(B)$

证明: 一方面, 方程组$Bx=0$的解一定是$ABx=0$的解。

另一方面。若矩阵$A$列满秩, 则$Ay=0$只有零解, 所以$ABx=0\Rightarrow y=Bx=0$必成立。故方程组$ABx=0$的解一定是$Bx=0$的解。

所以矩阵$A$列满秩时有:$ABx=0$与$Bx=0$同解。