版块 1 行列式计算方法

A.实用解题工具

第 1 组: 特殊行列式

特殊行列式：

$$\text{对角阵}:\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$ $$\text{主对角}:\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$ $$\text{副对角}:\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& 0& 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{1}{2}n(n-1)}{a}_{in}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n-1,2}{a}_{n1}$$ $$\text{范德蒙}:\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& \cdots & a_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)$$

第 2 组: 分块矩阵行列式

分块矩阵行列式:

$$\text{主对角线:}\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|$$ $$\text{主对角线}:\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}B\end{array}\right|$$ $$\text{副对角线}:\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|={\left(\begin{array}{c}-1\end{array}\right)}^{mn}\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|\left|\begin{array}{c}B\end{array}\right|$$

第 3 组：行列式性质

行列式性质:

行列式与它物转置行列式的值相等, 即$\left|A\right|=\left|A^{\mathrm{T}}\right|$

若某行 (列)有公因数, 可将其提到行列式符号外

两行 (列)互换, 行列式的值变号

将某行 (列)的$k$倍加到另一行, 行列式的值不变

$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_1+b_1& a_2+b_2& a_3+b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\\ d_1& d_2& d_3\end{array}\right|$$

第 4 组: 行列式重要公式

重要公式:

数乘:$|kA|=k^n\left|A\right|$

矩阵积:$|AB|=|A||B|$

伴随:$\left|A^{\ast }\right|={\left|A\right|}^{n-1}$

特征值:$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$

相似:$|A|=|B|$($A,B$相似)

B. 核心问题及解题方法总结

1. 利用展开定理求行列式

展开定理

$$A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$$ $$\begin{array}{rl}\text{行展开：}\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}& =\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}\\ \text{列展开：}\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{A}_{kj}& =\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}\end{array}$$

2. 元素替换法求代数余子式之和（某行或某列）

元素替换法：

$$b_1{A}_{11}+b_2{A}_{12}+\cdots +b_n{A}_{1n}=$$ $$\left|\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \dots & b_n\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|$$

（列之和同理）

例题 1. 已知

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 2^2& 2^3\\ 1& 3& 3^2& 3^3\\ 1& 4& 4^2& 4^3\\ 1& 5& 5^2& 5^3\end{array}\right)$$

,$A_{ij}$为$\left|A\right|$中元素$a_{ij}$的代数余子式,则$\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^4{A}_{ij}=$

【解】由按列展开定理得

$$A_{11}+A_{21}+A_{31}+A_{41}=\left|A\right|=(5-4)(5-3)(5-2)(4-3)(4-2)(4-2)=12$$ $$A_{12}+A_{22}+A_{32}+A_{42}=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& 2^2& 2^3\\ 1& 1& 3^2& 3^3\\ 1& 1& 4^2& 4^3\\ 1& 1& 5^2& 5^3\end{array}\right|=0$$

故$\sum _{i=1}^4\sum _{j=1}^4{A}_{ij}=12$

3. 特征向量法求代数余子式之和(某列)

$$A^{\ast }\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$ $$=(\begin{array}{c}{A}_{11}+A_{21}+\cdots +A_{n1}\\ A_{12}+A_{22}+\cdots +A_{n2}\\ \cdots \\ A_{1n}+A_{2n}+\cdots +A_{nn}\end{array})=\frac{\left|A\right|}{{\lambda }_A}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$

其他求代数余子式之和的方法：

方法 1：按照定义分别求出各个$A_{ij}$再相加

方法 2：$A$可逆时，利用$A^{\ast }=\left|A\right|A^{-1}.$求出$A^{\ast }$

方法 3：$A^{\ast }$特征值之和等于$\sum _{i=1}^n{A}_{ii}$

4. 利用$A_{ij}\ne 0$求解问题

重要结论: 若方阵$A$的代数余子式$A_{ij}\ne 0$,则(1)除第$i$行之外的所有行向量线性无关 (2)除第$j$列之外的所有列向量线性无关。

证明: 以三阶方阵$A$,且$A_{12}\ne 0$为例。

$$A_{12}\ne 0\Rightarrow M_{12}\ne 0\Rightarrow \left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|\ne 0$$

所以列向量组

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{21}\\ a_{31}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{a}_{23}\\ a_{33}\end{array}\right)$$

线性无关, 其延长组

$$\left(\begin{array}{c}{a}_{{}_{11}}\\ a_{{}_{21}}\\ a_{{}_{31}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{a}_{{}_{13}}\\ a_{{}_{23}}\\ a_{{}_{33}}\end{array}\right)$$

必线性无关。故除第 2 列之外的所有列向量线性无关。同理可证除第 1 行之外的所有行向量线性无关。

例题 1. 设 4 阶矩阵$A=\left(a_i\right)$不可逆,$a_{12}$的代数余子式$A_{12}\ne 0$,${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$为矩阵$A$的列向量组,$A^{\ast }$为$A$的伴随矩阵, 则$A^{\ast }x=0$的通解为 ( )

(A)$x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$ (B)$x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_4$

(C)$x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$ (D)$x=k_1{\alpha }_2+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$

【解】$\because A$不可逆$\therefore |A|=0$

$\because A_{12}\ne 0\therefore r(A)=3,\therefore r\left(A^{\ast }\right)=1,\therefore A^{\ast }x=0$的基础解系有 3 个线性无关的解向量.

$\because A^{\ast }A=|A|E=0$,$\therefore A$的每一列都是$A^{\ast }x=0$的解

又$\because A_{12}\ne 0$,$...{\alpha }_1,{\alpha }_3,{\alpha }_4$线性无关,$\therefore A^{\ast }x=0$的通解为$x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$,故选 C.

5. 代数余子式两大思路

$$\text{思路1: 伴随矩阵}{A}^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$ $$\begin{array}{rl}\text{行展开：}\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{jk}& =\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j,\\ 0,& i\ne j,\end{array}\\ \text{列展开：}\sum _{k=1}^n{a}_{ki}{A}_{kj}& =\{\begin{array}{ll}|A|,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}\end{array}$$