版块 3 点估计与区间估计（仅数一、数三）

第 1 组：无偏估计、有效性与一致性（仅数学一）

无偏性：

$$E\left(\hat{\theta }\right)=\theta$$

有效性：${\hat{\theta }}_1$ 与 ${\hat{\theta }}_2$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量。若

$$D\left({\hat{\theta }}_1\right)<D\left({\hat{\theta }}_2\right),$$

则称 ${\hat{\theta }}_1$ 较 ${\hat{\theta }}_2$ 有效。

一致性：当 $n\to \infty$ 时，$\hat{\theta }$ 依概率收敛于 $\theta$，则称 $\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的一致估计量。

第 2 组：估计的性质

1. 若 $\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的矩估计，$g(x)$ 为连续函数，则 $g(\hat{\theta })$ 为 $g(\theta )$ 的矩估计。

2. 若 $\hat{\theta }$ 为 $\theta$ 的极大似然估计，$g(x)$ 为单调函数，则 $g(\hat{\theta })$ 为 $g(\theta )$ 的极大似然估计。

3. （仅数一）

$$E\left(\overline{X}\right)=E(X),E\left(S^2\right)=D(X),$$

即 $\overline{X}$、$S^2$ 分别为总体 $E(X)$、$D(X)$ 的无偏估计量。

4. （仅数一）由大数定律易知，$\overline{X}$、$S^2$ 也分别是 $E(X)$、$D(X)$ 的一致估计量。

B. 核心问题及解题方法总结

1. 计算点估计

矩估计

矩估计的基本关系为

$$E\left(X^n\right)=A_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^n⟹\theta =\hat{\theta }\left(X_1,X_2,\dots ,X_n\right).$$

极大似然估计

似然函数

• 连续型：

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f\left(x_i;\theta \right).$$

• 离散型：

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}P\left(x_i;\theta \right).$$

求最值

• 有驻点时，令

$$\frac{d\ln L(\theta )}{d\theta }=0⟹\hat{\theta }=\hat{\theta }\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right).$$

• 无驻点时，根据实际情况求出最大值点。

最大似然估计的不变性

若 $\hat{\theta }$ 是 $\theta$ 的最大似然估计，且函数 $\phi (\theta )$ 具有单值反函数，则

$$\phi \left(\hat{\theta }\right)$$

是 $\phi (\theta )$ 的最大似然估计。

2. 计算区间估计（数三不要求）

${\sigma }^2$ 已知

统计量及其分布为

$$U=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

置信区间和拒绝域分别为

$$\left(\overline{X}-u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{X}+u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right),P\left\{|U|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}\right\}=\alpha .$$

${\sigma }^2$ 未知

统计量及其分布为

$$T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1).$$

置信区间和拒绝域分别为

$$\left(\overline{X}-t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\frac{\alpha }{2}}\frac{s}{\sqrt{n}}\right),P\left\{|T|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\right\}=\alpha .$$

3. 计算假设检验（数三不要求）

两类错误

$$\{\begin{array}{l}\text{弃真：假设本来成立，但被错误地否认了},\\ \text{存伪：把本来不成立的假设错误地接受了}.\end{array}$$

拒绝域与接收域

${\sigma }^2$ 已知

$$U=\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1),|u|=\left|\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}.$$

${\sigma }^2$ 未知

$$T=\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1),|t|=\left|\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}(n-1).$$