版块 2 概率应用 (仅数一、数三)

A. 实用解题工具

第 1 组: 大数定律

切比雪夫:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 设 }{X}_1,X_2\cdots ,X_n,\cdots \text{ 为两两不相关的随机变量序列,存在常数 }C\\ \text{ 使得 }D\left(X_i\right)\le C\left(i=1,2,\cdots \right),\text{ 则对于任意正数 }\epsilon ,\\ \underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)\right|<\epsilon \right\}=1\end{array}$$

伯努利:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 设 }{X}_1,X_2\cdots ,X_n,\cdots \text{ 相互独立,同服从 }0-1\text{ 分布,则对任意正整数 }\epsilon \text{，有}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-p\right|<\epsilon \right\}=1\end{array}$$

辛钦:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 设 }{X}_1,X_2\cdots ,X_n,\cdots \text{相互独立同分布且期望为}\mu \text{，则对任意正整数 }\epsilon \text{，有}\\ \underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \right|<\epsilon \right\}=1\end{array}$$

第 2 组: 依概率收敛

依概率收敛: 若 $X_1,X_2,\dots$ ,是一个随机变量序列, $A$ 是一个常数,若对于任意的 $\epsilon >0$ ,

$$\text{有}\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|X_n-A\right|<\epsilon \right\}=1$$

则称随机变量序列 $X_1,X_2,\dots$ 依概率收敛于常数 $A$ ,记作 $X_n\stackrel{P}{\to }A$

第 3 组: 分位数

定义: 设 $X$ ( $X$ 是总体或随机变量)的概率密度为 $f\left(x\right),F\left(x\right)$ 为其分布函数,对给定的实数 $\alpha \in \left(0,1\right)$ ,使 $P\left\{X\le v_{\alpha }\right\}=1-\alpha$ 的数 $v_{\alpha }$ ,称为分布函数 $F$ 的上侧分位数,即 $P\left\{X>v_{\alpha }\right\}={\int }_{v_{\alpha }}^{+\infty }f\left(x\right)dx=\alpha$ .

示例: 对于 $N\left(0,1\right)$ ,满足 $\Phi \left(u_{\alpha }\right)=1-\alpha$ 的数 $u_{\alpha }$ ,称为 $N\left(0,1\right)$ 的上侧 $\alpha$ 分位数(这里更 $\Phi$ 为标准正态分布 $N\left(0,1\right)$ 的分布函数).

B. 核心问题及解题方法总结

1. 利用切比雪夫不等式计算

方法: 切比雪夫不等式: $P\{\left|X-EX\right|\ge \epsilon \}\le \frac{DX}{{\epsilon }^2}$ 或 $P\{\left|X-EX\right|<\epsilon \}\ge 1-\frac{DX}{{\epsilon }^2}$

例题 1. 在区间 $\left[1,2\right]$ 内随机取 50 个数 $X_1,X_2,\dots ,X_{50}$ ,则由切比雪夫不等式可得概率 $P\left\{70<\sum _{i=1}^{50}{X}_i<80\right\}\ge$ _____.

【解】记 $X=\sum _{i=1}^{50}{X}_i$ . 由题设条件可知 $X_i\left(i=1,2,\cdots ,50\right)$ 服从区间 $\left[1,2\right]$ 上的均匀分布,且 $X_1,X_2,\dots ,X_{50}$ 相互独立,

于是

$$E\left(X_i\right)=\frac{3}{2},D\left(X_i\right)=\frac{1}{12},i=1,2,\cdots ,50.,E\left(X\right)=E\left(\sum _{i=1}^{50}{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{50}E\left(X_i\right)=\frac{3}{2}\times 50=75$$ $$D\left(X\right)=D\left(\sum _{i=1}^{50}{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{50}D\left(X_i\right)=\frac{1}{12}\times 50=\frac{25}{6}.$$

根据切比雪夫不等式得:

$$P\left\{70<\sum _{i=1}^{50}{X}_i<80\right\}=P\{70<X<80\}=P\{70<E\left(X\right)<X-E\left(X\right)<80-E\left(X\right)\}$$ $$=P\{-5<X-E\left(X\right)<5\}=P\{X-E\left(X\right)<5\}\ge 1-\frac{D\left(X\right)}{5^2}=1-\frac{1}{25}\cdot \frac{25}{6}=\frac{5}{6}\text{.}$$

2. 利用中心极限定理计算

棣莫-弗拉普斯定理:

设 $X_i\sim B\left(n,p\right)$ ,则对于任意实数 $x$ ,

$$\text{有}\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-np}{\sqrt{np\left(1-p\right)}}\le x\right\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

列维 - 林德伯格定理:

设 $X_1,X_2,\dots$ ,相互独立且同分布,且期望 $\mu$ 方差 ${\sigma }^2$ 存在,则对于任意实数 $x$ ,有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }\le x\right\}={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

3. 三大抽样分布计算

抽样分布:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 条件 : }X\sim X_1,X\sim X_n\text{,相互独立,且同服从 }N\left(0,1\right)\\ \text{ 结论 : }{\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2\sim {\chi }^2\left(n\right)\\ \text{ 结论 : }T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t\left(n\right)\\ \text{ F分布 : }\{\begin{array}{l}\text{ 条件 : }X\sim {\chi }^2\left(n_1\right),Y\sim {\chi }^2\left(n_2\right),\text{ 且 }X,\text{ 平相互独立 }\\ \text{ 结论 : }F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F\left(n_1,n_2\right)\end{array}\end{array}$$