版块 1 概率计算(仅数一、数三)

A. 实用解题工具

第 1 组: 事件基本公式

1. 减法: $P\left(A-B\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)$ ;

2. 加法:

$$\{\begin{array}{l}P\left(A+B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)\\ P\left(A+B+C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(AB\right)-P\left(BC\right)-P\left(AC\right)+P\left(ABC\right)\end{array}$$

3. 条件概率: $P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}$ ,表示 $A$ 发生的条件下, $B$ 发生的概率

4. 全概率:

$$P\left(B\right)=\sum _{i=1}^{n}P\left(B\mid A_i\right)P\left(A_i\right),A_i{A}_j=\varnothing ,i\ne j,\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\Omega$$

5. 贝叶斯基本公式:

$$P\left(A_j\mid B\right)=\frac{P\left(B\mid A_j\right)P\left(A_j\right)}{\sum _{i=1}^{n}P\left(B\mid A_i\right)P\left(A_i\right)},j=1,2,\cdots ,n$$

6. 乘法:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 情况 }1:P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\mid A\right)\\ \text{ 情况 }2:P\left(A\bar{B}\right)=P\left(A\right)-P\left(AB\right)\\ \text{ 情况 }3:P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)\left(A,B\text{ 独立 }\right)\end{array}$$

7. 德摩根律: $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B},\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

8. 相互独立: $P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)$

9. 分布函数

$$\{\begin{array}{l}\text{ 性质: }\{\begin{array}{l}0\le F\left(x\right)\le 1;F\left(-\infty \right)=0,F\left(+\infty \right)=1\\ F\left(x\right)\text{ 单调不减 }\\ \text{ 右连续 }F\left(x+0\right)=F\left(x\right)\end{array}\\ \text{ 公式 : }P\left\{x_1<X\le x_2\right\}=F\left(x_2\right)-F\left(x_1\right)\end{array}$$

2. 概率密度

$$\{\begin{array}{l}\text{ 性质 }\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1\end{array}\\ \text{ 公式 }:P\{X\le x\}=F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)dt\end{array}$$

4. 指数分布

$$\{\begin{array}{l}\text{ 概率密度函数 }f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0\end{array}\left(\lambda >0\right)\text{,记作 }X\sim e\left(\lambda \right)\\ \text{ 分布函数 }F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)dt=\{\begin{array}{cc}1-e^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0\end{array}\left(\lambda >0\right)\\ \text{ 5.正态分布 }\\ \text{ 标准正态分布函数 }\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^2/2}dt\\ \text{ 一般正态分布密度 }f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty ,\text{ 记作 }X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\end{array}$$

第 3 组: 一维离散的分布

1. 二维离散

$$\{\begin{array}{l}\text{ 1.联合概率分布: }P\left\{X=x_i,Y=y_j\right\}=p_{ij};i,j=1,2,\cdots \\ \text{ 2.边缘分布: }{p}_{i\cdot }=\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij},i=1,2,\cdots ,p_{\cdot j}=\sum _i^{\infty }{p}_{ij},j=1,2,\cdots \\ \text{ 3.条件分布律 : }P\left\{X=x_i\mid Y=y_j\right\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},P\left\{Y=y_j\mid X=x_i\right\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}\\ \text{ 4. 独立性 : 若对一切 }i,j,\text{ 有 }{p}_{ij}=p_{i\cdot }\cdot p_{\cdot j}\text{,则称 }X\text{ 与 }Y\text{相互独立 }\end{array}$$

2. 几类一维离散分布

（1）泊松分布 $p\left(\lambda \right):P\left(X=k\right)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },\lambda >0,k=0,1,2\cdots$

（2） 0-1 分布: $P\left(X=k\right)=p^k{\left(1-p\right)}^{1-k},k=0,1$

（3）二项分布 $B\left(n,p\right):P\left(X=k\right)=C_n^k{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$

（4）几何分布 $G\left(p\right):P\left(X=k\right)={\left(1-p\right)}^{k-1}p,0<p<1,k=1,2,\cdots$ . (第 $k$ 次成功的概率)

$$\{\begin{array}{l}\text{ 1. }F\left(x,y\right)\text{ 的性质: }\{\begin{array}{l}0\le F\left(x,y\right)\le 1,F\left(-\infty ,y\right)=F\left(x,-\infty \right)=0,F\left(+\infty ,+\infty \right)=1\\ \text{ 分别关于 }x\text{ 和 }y\text{ 单调不减 }\\ F\left(x+0,y\right)=F\left(x,y\right),F\left(x,y+0\right)=F\left(x,y\right)\\ P\{\left(X,Y\right)\in D\}=F\left(x_2,y_2\right)-F\left(x_2,y_1\right)-F\left(x_1,y_2\right)+F\left(x_1,y_1\right)\end{array}\end{array}$$

2. $f\left(x,y\right)$ 的性质:

$$\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)\ge 0\\ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)dxdy=1\end{array}$$

3. 边缘概率密度: $f_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)dy;f_Y\left(y\right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x,y\right)dx$

4. 条件概率密度:

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)};f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)}$$

5. 独立性验证: $X$ 与 $Y$ 相互独立

$$\iff \{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)\cdot f_Y\left(y\right)\\ f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=f_X\left(x\right)\\ f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=f_Y\left(y\right)\end{array}$$

6. 二维均匀分布:

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{S\left(D\right)},\left(x,y\right)\in D\\ 0,\text{ 其他 }\end{array}$$

7. 二维正态:

$$\{\begin{array}{ll}& \text{ 表示符号 : }N\left({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho \right)\\ & f\left(x,y\right)=\\ & \frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{\frac{-1}{2\left(1-{\rho }^2\right)}\left[\frac{{\left(x-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{\left(x-{\mu }_1\right)\left(y-{\mu }_2\right)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{{\left(y-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}\\ & X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)\\ & X\text{ 与 }Y\text{ 相互独立 }\\ & X\text{,}Y\text{ 线性组合依然服从正态 }\\ & \left(aX+bY,cX+dY\right)\text{ 服从二维正态 }\left(aX+bY\text{ 与 }cX+dY\text{ 不成比例 }\right)\end{array}$$

第 5 组: 数字特征

1. 协方差:

$$\{\begin{array}{l}\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-EXEY\\ \mathrm{Cov}\left(aX,bY\right)=ab\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)\\ \mathrm{Cov}\left(X_1+X_2,Y\right)=\mathrm{Cov}\left(X_1,Y\right)+\mathrm{Cov}\left(X_2,Y\right)\end{array}$$

2. 期望:

3. 方差:

$$\{\begin{array}{l}\text{ 1.基本性质 }\{\begin{array}{l}D\left(a\right)=0\left(\text{ 其中 }a\text{ 为常数 }\right)\\ D\left(aX+b\right)=a^{2}DX\\ D\left(aX\pm bY\right)=a^{2}DX+b^{2}DY\pm 2ab\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)\\ D\left(X\pm Y\right)=DX+DY\left(\text{ 要求 }X,Y\text{ 不相关 }\right)\end{array}\\ \text{ 2.初始计算 }\{\begin{array}{l}DX=E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)\\ D\left({\chi }^2\left(n\right)\right)=2n\end{array}\end{array}$$

例题 1. 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $B\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 分布,且 $E\left(XY\right)=\frac{1}{2}$ . 记 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho$ ,则 $\left(\right)$

(A) $\rho =1$ (B) $\rho =-1$ (C) $\rho =0$ (D) $\rho =\frac{1}{2}$

【解】选 A。由 $X\sim B\left(1,\frac{1}{2}\right),Y\sim B\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 知, $E\left(X\right)=E\left(Y\right)=\frac{1}{2},D\left(X\right)=D\left(Y\right)=\frac{1}{4}$ ,又

$$\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}\left(X,Y\right)}{\sqrt{D\left(X\right)}\sqrt{D\left(Y\right)}}=\frac{1/4}{\left(1/2\right)\times \left(1/2\right)}=1$

第 6 组: 常见分布的数字特征

常见分布:	分布	$0-1$	$B\left(n,p\right)$	$P\left(\lambda \right)$	$U\left(a,b\right)$	$E\left(\lambda \right)$	$N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$
$EX$	$p$	$np$	$\lambda$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{1}{\lambda }$	$\mu$
$DX$	$p\left(1-p\right)$	$np\left(1-p\right)$	$\lambda$	$\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$	${\sigma }^2$

第 7 组: 独立性验证

独立性验证

$$\{\begin{array}{l}\text{ ① }P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B\right)\\ \text{ ② }F\left(x,y\right)=F_X\left(x\right)F_Y\left(y\right)\\ \text{ ③ }f\left(x,y\right)=f_X\left(x\right)f_Y\left(y\right)\\ \text{ ④ }{p}_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}\\ \text{ ⑤ }\rho =0\text{,仅限于二维正态 }\end{array}$$

B. 核心问题及解题方法总结

1. 求解泊松分布

泊松分布

$$\{\begin{array}{ll}P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},& k=0,1,2,\cdots \text{ 记作 }X\sim P\left(\lambda \right)\left(\lambda >0\right)\\ \text{ 泊松定理 }& :\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k{\left(1-p_n\right)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}\left(\underset{n\to \infty }{\lim }n{p}_n=\lambda >0\right)\\ & \text{ 含义: 当 }n\text{ 很大,}p\text{ 很小时,二项分布可用泊松分布逼近 }\end{array}$$

例题 1.设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布,则 $P\left\{X=E{X}^2\right\}=$ ___

【解】对于 $X\sim P\left(\lambda \right)$ 有 $P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2,\dots ,E\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda$ ,先将 $\lambda =1$ 直接代入即可。

$$E\left(X^2\right)=D\left(X\right)+E^2\left(X\right)=\lambda +{\lambda }^2=2$$ $$P\left\{X=E{X}^2\right\}=P\{X=2\}=\frac{1^2}{2!}{e}^{-1}=\frac{1}{2e}\text{,填 }\frac{1}{2e}$$

2. 求解其他一维离散

一维离散

$$\{\begin{array}{l}\text{ 1. 几何分布 }\{\begin{array}{l}P\{X=k\}=p{\left(1-p\right)}^{k-1},k=1,2,\cdots ,\text{ 记作 }X\sim G\left(p\right)\left(0<p<1\right)\\ \text{ 含义: }X\text{ 为事件 }A\text{ 首次发生时的试验次数 }\end{array}\\ \text{ 2.二项分布 }\{\begin{array}{l}P\left(X=k\right)=C_n^k{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k},\text{ 记作 }X\sim B\left(n,p\right)\left(0<p<1\right)\\ \text{ 含义: }n\text{ 次独立重复试验中事件 }A\text{ 发生 }n\text{次的概率 }\end{array}\end{array}$$

函数的分布: $P\left(X=x_1\right)=p_i,Y=g\left(X\right)$ ,则 $P\left(Y=y_j\right)=\sum _{g\left(x_i\right)=y_i}P\left(X=x_i\right)$

3. 求解指数分布

指数分布的概率密度函数、分布函数和数字特征为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0,\end{array}\lambda >0,$$ $$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& x\le 0,\end{array}EX=\frac{1}{\lambda },DX=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

记作 $X\sim e(\lambda )$。

4. 求解正态分布

标准正态分布

$$X\sim N(0,1),\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^2/2}dt.$$

由对称性，

$$\Phi (a)+\Phi (-a)=1⟹\Phi (a)-\Phi (-a)=2\Phi (a)-1.$$

一般正态分布

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right),-\infty <x<+\infty ,$$

记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

5. 分位数

$$\{\begin{array}{l}X\sim N\left(0,1\right)\text{,实数 }{u}_{\alpha }\text{ 满足 }P\left(X\ge u_{\alpha }\right)=\alpha \text{,则称 }{u}_{\alpha }\text{ 为 }\alpha \text{ 的上侧分位数 }\\ X\sim N\left(0,1\right)\text{,实数 }{u}_{\frac{\alpha }{2}}\text{ 满足 }P\left(\left|X\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}\right)=\alpha \text{,则称 }{u}_{\frac{\alpha }{2}}\text{ 为 }\alpha \text{的双侧分位数 }\end{array}$$

例题 1. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,1\right)$ ,对给定的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ ,数 $u_{\alpha }$ 满足 $P\left\{X>u_{\alpha }\right\}=\alpha$ ,若

$P\{\left|X\right|<x\}=\alpha$ ,则 $x$ 等于 ( )

(A) $u_{\frac{\alpha }{2}}$ (B) $u\frac{\alpha }{1-\frac{\alpha }{2}}$ (C) $u_{\frac{1-\alpha }{2}}$ (D) $u_{1-\alpha }$

【解】 $X\sim N\left(0,1\right)$ ,则 $P\left\{X>u_{\alpha }\right\}=1-\Phi \left(u_{\alpha }\right)=\alpha$ ,即 $\Phi \left(u_{\alpha }\right)=1-\alpha$ ,其中 $\Phi \left(x\right)$ 为 $N\left(0,1\right)$

的分布函数,从而 $P\{\left|X\right|<x\}=2\Phi \left(x\right)-1=\alpha$ ,即 $\Phi \left(x\right)=\frac{1+\alpha }{2}=1-\frac{1-\alpha }{2}$ 。综上知 $x=u_{\frac{1-\alpha }{2}}$ , 选 C

求 $\left|X-Y\right|$ 的分布: 先得出一维变量 $T=X-Y$ 的分布,再根据分布函数法求 $\left|T\right|$ 的分布

6. 求函数的概率分布

例题 1. 设随机变量 $X$ 的概率密度为

$$f_x\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-x},& x\ge 0,\\ 0,& x<0,\end{array}$$

则随机变量 $Y={\mathrm{e}}^X$ 的概率密度为 $\left(\right)$ .

(A)

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y^2},& y\ge 1,\\ 0,& y<1\end{array}$$

(B)

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{y^2},& y<0,\\ 0,& y\ge 0\end{array}$$

(C)

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y},& y\ge 1,\\ 0,& y<1\end{array}$$

(D)

$$f_Y\left(y\right)=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{y},& y<0,\\ 0,& y\ge 0\end{array}$$

【解】选 A. $F_Y\left(y\right)=P\{Y\le y\}=P\left\{{\mathrm{e}}^X\le y\right\}=P\{X\le \ln y\}=F_X\left(\ln y\right)$ ,

于是

$$f_Y\left(y\right)=F_Y^{\prime }\left(y\right)=f_X\left(\ln y\right)\frac{1}{y}=\{\begin{array}{cc}{\mathrm{e}}^{-\ln y}\cdot \frac{1}{y},& \ln y\ge 0,\\ 0,& \ln y<0\end{array}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{y^2},& y\ge 1,\\ 0,& y<1.\end{array}$$